---

Step * 1 of Lemma cross-product-equal-0


1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ((a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ⇐ (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
6. (a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
7. (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
⊢ (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃c1,c2:|r|. ((¬(c1 = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬(c2 = 0 ∈ |r|)) ∧ ((c1*a) = (c2*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
BY
{ (RepeatFor 2 (ParallelLast) THEN ExRepD) }

1
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ((a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ⇐ (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
6. (a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
7. i : ℕ3
8. ¬((b i) = 0 ∈ |r|)
9. ¬((a i) = 0 ∈ |r|)
10. (b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
⊢ ∃c1,c2:|r|. ((¬(c1 = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬(c2 = 0 ∈ |r|)) ∧ ((c1*a) = (c2*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  IntegDom\{i\}
2.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
3.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
5.  ((a  x  b)  =  0)  \mLeftarrow{}{}  (a  =  0)
\mvee{}  (b  =  0)
\mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}3.  ((\mneg{}((b  i)  =  0))  \mwedge{}  (\mneg{}((a  i)  =  0))  \mwedge{}  ((b  i*a)  =  (a  i*b))))
6.  (a  x  b)  =  0
7.  (a  =  0)  \mvee{}  (b  =  0)  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}3.  ((\mneg{}((b  i)  =  0))  \mwedge{}  (\mneg{}((a  i)  =  0))  \mwedge{}  ((b  i*a)  =  (a  i*b))))
\mvdash{}  (a  =  0)  \mvee{}  (b  =  0)  \mvee{}  (\mexists{}c1,c2:|r|.  ((\mneg{}(c1  =  0))  \mwedge{}  (\mneg{}(c2  =  0))  \mwedge{}  ((c1*a)  =  (c2*b))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (ParallelLast)  THEN  ExRepD)

---

Home Index