---

Step * 2 1 1 of Lemma cross-product-equal-0


1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ((a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
⇒ ((a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
   ∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
   ∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)))))
6. ((a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ⇐ (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
7. c1 : |r|
8. c2 : |r|
9. ¬(c1 = 0 ∈ |r|)
10. ¬(c2 = 0 ∈ |r|)
11. (c1*a) = (c2*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
12. (c1 * c2*(a x b)) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
⊢ (a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
BY
{ ((FunExt THENA Auto) THEN (ApFunToHypEquands `Z' ⌜Z x⌝ ⌜|r|⌝ (-2)⋅ THENA Auto)) }

1
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ((a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
⇒ ((a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
   ∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
   ∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)))))
6. ((a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ⇐ (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
7. c1 : |r|
8. c2 : |r|
9. ¬(c1 = 0 ∈ |r|)
10. ¬(c2 = 0 ∈ |r|)
11. (c1*a) = (c2*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
12. (c1 * c2*(a x b)) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
13. x : ℕ3
14. ((c1 * c2*(a x b)) x) = (0 x) ∈ |r|
⊢ ((a x b) x) = (0 x) ∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  IntegDom\{i\}
2.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
3.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
5.  ((a  x  b)  =  0)
{}\mRightarrow{}  ((a  =  0)  \mvee{}  (b  =  0)  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}3.  ((\mneg{}((b  i)  =  0))  \mwedge{}  (\mneg{}((a  i)  =  0))  \mwedge{}  ((b  i*a)  =  (a  i*b)))))
6.  ((a  x  b)  =  0)  \mLeftarrow{}{}  (a  =  0)
\mvee{}  (b  =  0)
\mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}3.  ((\mneg{}((b  i)  =  0))  \mwedge{}  (\mneg{}((a  i)  =  0))  \mwedge{}  ((b  i*a)  =  (a  i*b))))
7.  c1  :  |r|
8.  c2  :  |r|
9.  \mneg{}(c1  =  0)
10.  \mneg{}(c2  =  0)
11.  (c1*a)  =  (c2*b)
12.  (c1  *  c2*(a  x  b))  =  0
\mvdash{}  (a  x  b)  =  0


By

---

Latex:
((FunExt  THENA  Auto)  THEN  (ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}Z  x\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}|r|\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index