---

Step * 1 1 1 of Lemma cross-product-non-zero-implies


1. r : IntegDom{i}
2. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
3. a : ℕ3 ⟶ |r|
4. b : ℕ3 ⟶ |r|
5. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
6. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ∀i:ℕ3. (((a i) = 0 ∈ |r|) ∨ ((b i) = 0 ∈ |r|) ∨ (¬((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
8. ∀a:ℕ3 ⟶ |r|. ((¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))) ⇒ (∃i:ℕ3. (¬((a i) = 0 ∈ |r|))))
⊢ ∃l:{p:ℕ3 ⟶ |r|| ¬(p = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))}  [(((a . l) = 0 ∈ |r|) ∧ (¬((b . l) = 0 ∈ |r|)))]
BY
{ Assert ⌜∀x,y:|r|.  ((x +r (-r y)) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ x = y ∈ |r|)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. r : IntegDom{i}
2. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
3. a : ℕ3 ⟶ |r|
4. b : ℕ3 ⟶ |r|
5. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
6. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ∀i:ℕ3. (((a i) = 0 ∈ |r|) ∨ ((b i) = 0 ∈ |r|) ∨ (¬((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
8. ∀a:ℕ3 ⟶ |r|. ((¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))) ⇒ (∃i:ℕ3. (¬((a i) = 0 ∈ |r|))))
⊢ ∀x,y:|r|.  ((x +r (-r y)) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ x = y ∈ |r|)

2
1. r : IntegDom{i}
2. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
3. a : ℕ3 ⟶ |r|
4. b : ℕ3 ⟶ |r|
5. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
6. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ∀i:ℕ3. (((a i) = 0 ∈ |r|) ∨ ((b i) = 0 ∈ |r|) ∨ (¬((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
8. ∀a:ℕ3 ⟶ |r|. ((¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))) ⇒ (∃i:ℕ3. (¬((a i) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀x,y:|r|.  ((x +r (-r y)) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ x = y ∈ |r|)
⊢ ∃l:{p:ℕ3 ⟶ |r|| ¬(p = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))}  [(((a . l) = 0 ∈ |r|) ∧ (¬((b . l) = 0 ∈ |r|)))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  IntegDom\{i\}
2.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
3.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
5.  \mneg{}(a  =  0)
6.  \mneg{}(b  =  0)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}3.  (((a  i)  =  0)  \mvee{}  ((b  i)  =  0)  \mvee{}  (\mneg{}((b  i*a)  =  (a  i*b))))
8.  \mforall{}a:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|.  ((\mneg{}(a  =  0))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}3.  (\mneg{}((a  i)  =  0))))
\mvdash{}  \mexists{}l:\{p:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r||  \mneg{}(p  =  0)\}    [(((a  .  l)  =  0)  \mwedge{}  (\mneg{}((b  .  l)  =  0)))]


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}x,y:|r|.    ((x  +r  (-r  y))  =  0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  x  =  y)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index