---

Step * 2 of Lemma det-fun+


1. n : ℕ
2. J : ℕn + 1
3. r : Rng
4. d : Matrix(n + 1;n + 1;r) ⟶ |r|
5. ∀i:ℕn + 1. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
6. ∀i:ℕn + 1. ∀row:ℕn + 1 ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
7. ∀i,j:ℕn + 1.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
8. ∀i,j:ℕn + 1.
     ((¬(i = j ∈ ℤ))
     ⇒ (∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n + 1;n + 1;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix+(r;J;matrix-mul-row(r;k;i;M))) = (k * (d matrix+(r;J;M))) ∈ |r|)
10. i : ℕn
11. row : ℕn ⟶ |r|
12. M : Matrix(n;n;r)
⊢ (d matrix+(r;J;matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y])))
= ((d matrix+(r;J;matrix(if x=i then row y else M[x,y]))) +r (d matrix+(r;J;M)))
∈ |r|
BY
{ ((InstHyp [⌜i + 1⌝;⌜λy.if (y) < (J)  then row y  else if (J) < (y)  then row (y - 1)  else 0⌝ ;⌜matrix+(r;J;M)⌝] 6⋅
    THENA Auto
    )
   THEN NthHypEq (-1)
   THEN RepeatFor 2 (EqCDA)
   THEN Try (EqCDA)
   THEN Unfold `matrix+` 0
   THEN EqCDA
   THEN RepUR ``mx matrix-ap`` 0
   THEN Fold `matrix-ap` 0
   THEN (CaseNat 0 `x' THEN Reduce 0)
   THEN Auto
   THEN RepeatFor 2 (AutoSplit)) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  J  :  \mBbbN{}n  +  1
3.  r  :  Rng
4.  d  :  Matrix(n  +  1;n  +  1;r)  {}\mrightarrow{}  |r|
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  +  1.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).    ((d  matrix-mul-row(r;k;i;M))  =  (k  *  (d  M)))
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  +  1.  \mforall{}row:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  |r|.  \mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).
          ((d  matrix(if  x=i  then  (row  y)  +r  M[x,y]  else  M[x,y]))
          =  ((d  matrix(if  x=i  then  row  y  else  M[x,y]))  +r  (d  M)))
7.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n  +  1.
          ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).  ((d  matrix-swap-rows(M;i;j))  =  (-r  (d  M)))))
8.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n  +  1.
          ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).  ((matrix-swap-rows(M;i;j)  =  M)  {}\mRightarrow{}  ((d  M)  =  0))))
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).
          ((d  matrix+(r;J;matrix-mul-row(r;k;i;M)))  =  (k  *  (d  matrix+(r;J;M))))
10.  i  :  \mBbbN{}n
11.  row  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|
12.  M  :  Matrix(n;n;r)
\mvdash{}  (d  matrix+(r;J;matrix(if  x=i  then  (row  y)  +r  M[x,y]  else  M[x,y])))
=  ((d  matrix+(r;J;matrix(if  x=i  then  row  y  else  M[x,y])))  +r  (d  matrix+(r;J;M)))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}i  +  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}y.if  (y)  <  (J)    then  row  y    else  if  (J)  <  (y)    then  row  (y  -  1)    else  0\mkleeneclose{}  ;
    \mkleeneopen{}matrix+(r;J;M)\mkleeneclose{}]  6\mcdot{}
    THENA  Auto
    )
  THEN  NthHypEq  (-1)
  THEN  RepeatFor  2  (EqCDA)
  THEN  Try  (EqCDA)
  THEN  Unfold  `matrix+`  0
  THEN  EqCDA
  THEN  RepUR  ``mx  matrix-ap``  0
  THEN  Fold  `matrix-ap`  0
  THEN  (CaseNat  0  `x'  THEN  Reduce  0)
  THEN  Auto
  THEN  RepeatFor  2  (AutoSplit))

---

Home Index