---

Step * 3 of Lemma det-fun+


1. n : ℕ
2. J : ℕn + 1
3. r : Rng
4. d : Matrix(n + 1;n + 1;r) ⟶ |r|
5. ∀i:ℕn + 1. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
6. ∀i:ℕn + 1. ∀row:ℕn + 1 ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
7. ∀i,j:ℕn + 1.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
8. ∀i,j:ℕn + 1.
     ((¬(i = j ∈ ℤ))
     ⇒ (∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n + 1;n + 1;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix+(r;J;matrix-mul-row(r;k;i;M))) = (k * (d matrix+(r;J;M))) ∈ |r|)
10. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
      ((d matrix+(r;J;matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y])))
      = ((d matrix+(r;J;matrix(if x=i then row y else M[x,y]))) +r (d matrix+(r;J;M)))
      ∈ |r|)
11. i : ℕn
12. j : ℕn
13. ¬(i = j ∈ ℤ)
14. M : Matrix(n;n;r)
⊢ (d matrix+(r;J;matrix-swap-rows(M;i;j))) = (-r (d matrix+(r;J;M))) ∈ |r|
BY
{ ((InstHyp [⌜i + 1⌝;⌜j + 1⌝;⌜matrix+(r;J;M)⌝] 7⋅ THEN Auto)
   THEN NthHypEqTrans (-1)
   THEN EqCDA
   THEN RepUR ``matrix-swap-rows matrix+`` 0
   THEN EqCDA
   THEN RepUR ``mx matrix-ap`` 0
   THEN Fold `matrix-ap` 0
   THEN (CaseNat 0 `x' THEN Reduce 0)
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ
2. J : ℕn + 1
3. r : Rng
4. d : Matrix(n + 1;n + 1;r) ⟶ |r|
5. ∀i:ℕn + 1. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
6. ∀i:ℕn + 1. ∀row:ℕn + 1 ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
7. ∀i,j:ℕn + 1.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
8. ∀i,j:ℕn + 1.
     ((¬(i = j ∈ ℤ))
     ⇒ (∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n + 1;n + 1;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix+(r;J;matrix-mul-row(r;k;i;M))) = (k * (d matrix+(r;J;M))) ∈ |r|)
10. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
      ((d matrix+(r;J;matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y])))
      = ((d matrix+(r;J;matrix(if x=i then row y else M[x,y]))) +r (d matrix+(r;J;M)))
      ∈ |r|)
11. i : ℕn
12. j : ℕn
13. ¬(i = j ∈ ℤ)
14. M : Matrix(n;n;r)
15. (d matrix-swap-rows(matrix+(r;J;M);i + 1;j + 1)) = (-r (d matrix+(r;J;M))) ∈ |r|
16. x : ℕn + 1
17. y : ℕn + 1
18. ¬(x = 0 ∈ ℤ)
⊢ if if x=i + 1 then j + 1 else if x=j + 1 then i + 1 else x=0
  then if y=J then 1 else 0
  else if (y) < (J)
          then M[if x=i + 1 then j + 1 else if x=j + 1 then i + 1 else x - 1,y]
          else if (J) < (y)  then M[if x=i + 1 then j + 1 else if x=j + 1 then i + 1 else x - 1,y - 1]  else 0
= if (y) < (J)
     then M[if x - 1=i then j else if x - 1=j then i else (x - 1),y]
     else if (J) < (y)  then M[if x - 1=i then j else if x - 1=j then i else (x - 1),y - 1]  else 0
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  J  :  \mBbbN{}n  +  1
3.  r  :  Rng
4.  d  :  Matrix(n  +  1;n  +  1;r)  {}\mrightarrow{}  |r|
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  +  1.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).    ((d  matrix-mul-row(r;k;i;M))  =  (k  *  (d  M)))
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  +  1.  \mforall{}row:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  |r|.  \mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).
          ((d  matrix(if  x=i  then  (row  y)  +r  M[x,y]  else  M[x,y]))
          =  ((d  matrix(if  x=i  then  row  y  else  M[x,y]))  +r  (d  M)))
7.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n  +  1.
          ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).  ((d  matrix-swap-rows(M;i;j))  =  (-r  (d  M)))))
8.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n  +  1.
          ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).  ((matrix-swap-rows(M;i;j)  =  M)  {}\mRightarrow{}  ((d  M)  =  0))))
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).
          ((d  matrix+(r;J;matrix-mul-row(r;k;i;M)))  =  (k  *  (d  matrix+(r;J;M))))
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}row:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).
            ((d  matrix+(r;J;matrix(if  x=i  then  (row  y)  +r  M[x,y]  else  M[x,y])))
            =  ((d  matrix+(r;J;matrix(if  x=i  then  row  y  else  M[x,y])))  +r  (d  matrix+(r;J;M))))
11.  i  :  \mBbbN{}n
12.  j  :  \mBbbN{}n
13.  \mneg{}(i  =  j)
14.  M  :  Matrix(n;n;r)
\mvdash{}  (d  matrix+(r;J;matrix-swap-rows(M;i;j)))  =  (-r  (d  matrix+(r;J;M)))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}i  +  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j  +  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}matrix+(r;J;M)\mkleeneclose{}]  7\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  NthHypEqTrans  (-1)
  THEN  EqCDA
  THEN  RepUR  ``matrix-swap-rows  matrix+``  0
  THEN  EqCDA
  THEN  RepUR  ``mx  matrix-ap``  0
  THEN  Fold  `matrix-ap`  0
  THEN  (CaseNat  0  `x'  THEN  Reduce  0)
  THEN  Auto)

---

Home Index