---

Step * 2 1 1 1 1 2 1 1 of Lemma det-fun-is-determinant

.....assertion..... 
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. ¬n < 1
4. 0 < n
5. d : det-fun(r;n)
6. M : Matrix(n;n;r)
⊢ ∀j:ℕ
    (((Σ(r) 0 
            ≤ i 
            < j
        d matrix(if x=0 then if y=i then M[0,i] else 0 else M[x,y])) 
      +r 
      (d matrix(if x=0 then if (y) < (j)  then 0  else M[x,y] else M[x,y])))
    = (d M)
    ∈ |r|)
BY
{ InductionOnNat }

1
.....basecase..... 
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. ¬n < 1
4. 0 < n
5. d : det-fun(r;n)
6. M : Matrix(n;n;r)
7. j : ℤ
⊢ ((Σ(r) 0 
         ≤ i 
         < 0
     d matrix(if x=0 then if y=i then M[0,i] else 0 else M[x,y])) 
   +r 
   (d matrix(if x=0 then if (y) < (0)  then 0  else M[x,y] else M[x,y])))
= (d M)
∈ |r|

2
.....upcase..... 
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. ¬n < 1
4. 0 < n
5. d : det-fun(r;n)
6. M : Matrix(n;n;r)
7. j : ℤ
8. 0 < j
9. ((Σ(r) 0 
          ≤ i 
          < j - 1
      d matrix(if x=0 then if y=i then M[0,i] else 0 else M[x,y])) 
    +r 
    (d matrix(if x=0 then if (y) < (j - 1)  then 0  else M[x,y] else M[x,y])))
= (d M)
∈ |r|
⊢ ((Σ(r) 0 
         ≤ i 
         < j
     d matrix(if x=0 then if y=i then M[0,i] else 0 else M[x,y])) 
   +r 
   (d matrix(if x=0 then if (y) < (j)  then 0  else M[x,y] else M[x,y])))
= (d M)
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  \mneg{}n  <  1
4.  0  <  n
5.  d  :  det-fun(r;n)
6.  M  :  Matrix(n;n;r)
\mvdash{}  \mforall{}j:\mBbbN{}
        (((\mSigma{}(r)  0 
                        \mleq{}  i 
                        <  j
                d  matrix(if  x=0  then  if  y=i  then  M[0,i]  else  0  else  M[x,y])) 
            +r 
            (d  matrix(if  x=0  then  if  (y)  <  (j)    then  0    else  M[x,y]  else  M[x,y])))
        =  (d  M))


By

---

Latex:
InductionOnNat

---

Home Index