---

Step * 1 1 1 of Lemma rng_prod_plus

.....assertion..... 
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. F : ℕn ⟶ |r|
5. G : ℕn ⟶ |r|
6. ∀[f:(ℕn ⟶ ℕ2) ⟶ |r|]. ∀[as:(ℕn ⟶ ℕ2) List].
     (Σ{r} x ∈ as. f[x]
     = (Σ{r} x ∈ filter(λ2p.(p (n - 1) =z 0);as). f[x] +r Σ{r} x ∈ filter(λa.(¬b(a (n - 1) =z 0));as). f[x])
     ∈ |r|)
⊢ (Σ{r} p ∈ functions-list(n - 1;2). (Π(r) 0 ≤ i < n - 1. if (p i =z 0) then F[i] else G[i] fi ) * F[n - 1])
= Σ{r} p ∈ filter(λ2p.(p (n - 1) =z 0);functions-list(n;2)). ((Π(r) 0 
                                                                    ≤ i 
                                                                    < n - 1
                                                                if (p i =z 0) then F[i] else G[i] fi ) 
                                                              * 
                                                              F[n - 1])
∈ |r|
BY
{ ((Assert ⌜filter(λ2p.(p (n - 1) =z 0);functions-list(n;2)) ∈ (ℕn ⟶ ℕ2) List⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "rng_times_lsum_r" 0 THENA Auto)
   ) }

1
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. F : ℕn ⟶ |r|
5. G : ℕn ⟶ |r|
6. ∀[f:(ℕn ⟶ ℕ2) ⟶ |r|]. ∀[as:(ℕn ⟶ ℕ2) List].
     (Σ{r} x ∈ as. f[x]
     = (Σ{r} x ∈ filter(λ2p.(p (n - 1) =z 0);as). f[x] +r Σ{r} x ∈ filter(λa.(¬b(a (n - 1) =z 0));as). f[x])
     ∈ |r|)
7. filter(λ2p.(p (n - 1) =z 0);functions-list(n;2)) ∈ (ℕn ⟶ ℕ2) List
⊢ Σ{r} p ∈ functions-list(n - 1;2). ((Π(r) 0 ≤ i < n - 1. if (p i =z 0) then F[i] else G[i] fi ) * F[n - 1])
= Σ{r} p ∈ filter(λ2p.(p (n - 1) =z 0);functions-list(n;2)). ((Π(r) 0 
                                                                    ≤ i 
                                                                    < n - 1
                                                                if (p i =z 0) then F[i] else G[i] fi ) 
                                                              * 
                                                              F[n - 1])
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  F  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|
5.  G  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|
6.  \mforall{}[f:(\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2)  {}\mrightarrow{}  |r|].  \mforall{}[as:(\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2)  List].
          (\mSigma{}\{r\}  x  \mmember{}  as.  f[x]
          =  (\mSigma{}\{r\}  x  \mmember{}  filter(\mlambda{}\msubtwo{}p.(p  (n  -  1)  =\msubz{}  0);as).  f[x] 
                +r 
                \mSigma{}\{r\}  x  \mmember{}  filter(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}(a  (n  -  1)  =\msubz{}  0));as).  f[x]))
\mvdash{}  (\mSigma{}\{r\}  p  \mmember{}  functions-list(n  -  1;2).  (\mPi{}(r)  0 
                                                                                      \mleq{}  i 
                                                                                      <  n  -  1
                                                                              if  (p  i  =\msubz{}  0)  then  F[i]  else  G[i]  fi  ) 
      * 
      F[n  -  1])
=  \mSigma{}\{r\}  p  \mmember{}  filter(\mlambda{}\msubtwo{}p.(p  (n  -  1)  =\msubz{}  0);functions-list(n;2)).  ((\mPi{}(r)  0 
                                                                                                                                        \mleq{}  i 
                                                                                                                                        <  n  -  1
                                                                                                                                if  (p  i  =\msubz{}  0)
                                                                                                                                then  F[i]
                                                                                                                                else  G[i]
                                                                                                                                fi  ) 
                                                                                                                            * 
                                                                                                                            F[n  -  1])


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}filter(\mlambda{}\msubtwo{}p.(p  (n  -  1)  =\msubz{}  0);functions-list(n;2))  \mmember{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2)  List\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "rng\_times\_lsum\_r"  0  THENA  Auto)
  )

---

Home Index