---

Step * 1 of Lemma Long-theorem


1. x : Atom
2. y : Atom
3. ¬(x = y ∈ Atom)
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
7. n : ℕ+
8. k : ℕ+
⊢ ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_1(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                       +atom(y)))^(if (i + 1 =z 0)
                                                                                                     then 1
if (i + 1 =z 1) then n - 1
else 0
fi ))[bag-rep(n;x)]
= ((a + ((k - 1) * b)) * k^(n - 1))
∈ ℤ
BY
{ TACTIC:((Assert upto(k) ∈ bag(ℕk) BY
                 Auto)
          THEN (Subst ⌜[((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_1(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))
                       = ((a + ((k - 1) * b))*atom(x)+(b)*atom(y))
                       ∈ PowerSeries(ℤ-rng)⌝ 0⋅
                THENA Try (Complete (Auto))
                )
          ) }

1
.....equality..... 
1. x : Atom
2. y : Atom
3. ¬(x = y ∈ Atom)
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
7. n : ℕ+
8. k : ℕ+
9. upto(k) ∈ bag(ℕk)
⊢ [((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_1(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))
= ((a + ((k - 1) * b))*atom(x)+(b)*atom(y))
∈ PowerSeries(ℤ-rng)

2
1. x : Atom
2. y : Atom
3. ¬(x = y ∈ Atom)
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
7. n : ℕ+
8. k : ℕ+
9. upto(k) ∈ bag(ℕk)
⊢ (((a + ((k - 1) * b))*atom(x)+(b)*atom(y))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))^(if (i + 1 =z 0) then 1
if (i + 1 =z 1) then n - 1
else 0
fi ))[bag-rep(n;x)]
= ((a + ((k - 1) * b)) * k^(n - 1))
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  Atom
2.  y  :  Atom
3.  \mneg{}(x  =  y)
4.  a  :  \mBbbZ{}
5.  b  :  \mBbbZ{}
6.  \mforall{}[d:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}].  \mforall{}[k:\mBbbN{}].
          (Moessner(\mBbbZ{}-rng;x;y;((a  -  b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
          =  ([((a  -  b)*atom(x)+(b)*atom(y))]\_d 
                                                                                0(y:=((k  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k)).((((k  -  i)  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)
                                                                                                                                                +atom(y)))\^{}(d  (i  +  1))))
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  ([((a  -  b)*atom(x)+(b)*atom(y))]\_1(y:=((k  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)
                                                                                  +atom(y)))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k)).((((k  -  i)  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)
                                                                                                                                      +atom(y)))\^{}(if  (i  +  1  =\msubz{}  0)
                                                                                                                                                                  then  1
if  (i  +  1  =\msubz{}  1)  then  n  -  1
else  0
fi  ))[bag-rep(n;x)]
=  ((a  +  ((k  -  1)  *  b))  *  k\^{}(n  -  1))


By

---

Latex:
TACTIC:((Assert  upto(k)  \mmember{}  bag(\mBbbN{}k)  BY
                              Auto)
                THEN  (Subst  \mkleeneopen{}[((a  -  b)*atom(x)+(b)*atom(y))]\_1(y:=((k  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)+atom(y)))
                                          =  ((a  +  ((k  -  1)  *  b))*atom(x)+(b)*atom(y))\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THENA  Try  (Complete  (Auto))
                            )
                )

---

Home Index