---

Step * 1 2 of Lemma Long-theorem


1. x : Atom
2. y : Atom
3. ¬(x = y ∈ Atom)
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
7. n : ℕ+
8. k : ℕ+
9. upto(k) ∈ bag(ℕk)
⊢ (((a + ((k - 1) * b))*atom(x)+(b)*atom(y))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))^(if (i + 1 =z 0) then 1
if (i + 1 =z 1) then n - 1
else 0
fi ))[bag-rep(n;x)]
= ((a + ((k - 1) * b)) * k^(n - 1))
∈ ℤ
BY
{ TACTIC:(Subst ⌜Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))^(if (i + 1 =z 0) then 1
                 if (i + 1 =z 1) then n - 1
                 else 0
                 fi )
                 = (((k)*atom(x)+atom(y)))^(n - 1)
                 ∈ PowerSeries(ℤ-rng)⌝ 0⋅
          THENA Auto
          ) }

1
.....equality..... 
1. x : Atom
2. y : Atom
3. ¬(x = y ∈ Atom)
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
7. n : ℕ+
8. k : ℕ+
9. upto(k) ∈ bag(ℕk)
⊢ Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))^(if (i + 1 =z 0) then 1
if (i + 1 =z 1) then n - 1
else 0
fi )
= (((k)*atom(x)+atom(y)))^(n - 1)
∈ PowerSeries(ℤ-rng)

2
1. x : Atom
2. y : Atom
3. ¬(x = y ∈ Atom)
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
7. n : ℕ+
8. k : ℕ+
9. upto(k) ∈ bag(ℕk)
⊢ (((a + ((k - 1) * b))*atom(x)+(b)*atom(y))*(((k)*atom(x)+atom(y)))^(n - 1))[bag-rep(n;x)]
= ((a + ((k - 1) * b)) * k^(n - 1))
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  Atom
2.  y  :  Atom
3.  \mneg{}(x  =  y)
4.  a  :  \mBbbZ{}
5.  b  :  \mBbbZ{}
6.  \mforall{}[d:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}].  \mforall{}[k:\mBbbN{}].
          (Moessner(\mBbbZ{}-rng;x;y;((a  -  b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
          =  ([((a  -  b)*atom(x)+(b)*atom(y))]\_d 
                                                                                0(y:=((k  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k)).((((k  -  i)  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)
                                                                                                                                                +atom(y)))\^{}(d  (i  +  1))))
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  upto(k)  \mmember{}  bag(\mBbbN{}k)
\mvdash{}  (((a  +  ((k  -  1)  *  b))*atom(x)
        +(b)*atom(y))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k)).((((k  -  i)  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)+atom(y)))\^{}(if  (i  +  1  =\msubz{}  0)  then  1
if  (i  +  1  =\msubz{}  1)  then  n  -  1
else  0
fi  ))[bag-rep(n;x)]
=  ((a  +  ((k  -  1)  *  b))  *  k\^{}(n  -  1))


By

---

Latex:
TACTIC:(Subst  \mkleeneopen{}\mPi{}(i\mmember{}upto(k)).((((k  -  i)  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)+atom(y)))\^{}(if  (i  +  1  =\msubz{}  0)  then  1
                              if  (i  +  1  =\msubz{}  1)  then  n  -  1
                              else  0
                              fi  )
                              =  (((k)*atom(x)+atom(y)))\^{}(n  -  1)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THENA  Auto
                )

---

Home Index