---

Step * of Lemma fps-compose-atom-eq

∀[X:Type]
  ∀[eq:EqDecider(X)]. ∀[r:CRng]. ∀[x:X]. ∀[f:PowerSeries(X;r)].  (atom(x)(x:=f) = (f-(f[{}])*1) ∈ PowerSeries(X;r)) 
  supposing valueall-type(X)
BY
{ (Auto
   THEN ((InstLemma `rng_plus_comm` [⌜r⌝]⋅ THENA Auto) THEN Fold `comm` (-1))
   THEN (Assert Assoc(|r|;*) ∧ Comm(|r|;*) ∧ IsMonoid(|r|;+r;0) BY
               (RepeatFor 2 (DVar `r') THEN Auto))
   THEN (Assert ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|) BY
               (Auto THEN Using [`T',⌜bag(Atom)⌝] MemCD⋅ THEN Auto))
   THEN BLemma `fps-ext`
   THEN Auto
   THEN RepUR ``fps-zero fps-atom fps-single fps-compose fps-coeff`` 0
   THEN RepUR ``fps-sub fps-add fps-scalar-mul fps-coeff fps-one fps-neg`` 0
   THEN Assert ⌜Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{x}) then 1 else 0 fi  
                                         * 
                                         Πa ∈ tl(L). f a
                = Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{x})
                   then Πa ∈ tl(L). f a
                   else 0
                   fi 
                ∈ |r|⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. f : PowerSeries(X;r)
7. Comm(|r|;+r)
8. Assoc(|r|;*)
9. Comm(|r|;*)
10. IsMonoid(|r|;+r;0)
11. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
12. b : bag(X)
⊢ Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{x}) then 1 else 0 fi  * Πa ∈ tl(L). f a
= Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{x}) then Πa ∈ tl(L). f a else 0 fi 
∈ |r|

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. f : PowerSeries(X;r)
7. Comm(|r|;+r)
8. Assoc(|r|;*)
9. Comm(|r|;*)
10. IsMonoid(|r|;+r;0)
11. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
12. b : bag(X)
13. Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{x}) then 1 else 0 fi  * Πa ∈ tl(L). f a
= Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{x}) then Πa ∈ tl(L). f a else 0 fi 
∈ |r|
⊢ Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{x}) then 1 else 0 fi  * Πa ∈ tl(L). f a
= (+r (f b) (-r ((f {}) * if bag-null(b) then 1 else 0 fi )))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[X:Type]
    \mforall{}[eq:EqDecider(X)].  \mforall{}[r:CRng].  \mforall{}[x:X].  \mforall{}[f:PowerSeries(X;r)].    (atom(x)(x:=f)  =  (f-(f[\{\}])*1)) 
    supposing  valueall-type(X)


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  ((InstLemma  `rng\_plus\_comm`  [\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  Fold  `comm`  (-1))
  THEN  (Assert  Assoc(|r|;*)  \mwedge{}  Comm(|r|;*)  \mwedge{}  IsMonoid(|r|;+r;0)  BY
                          (RepeatFor  2  (DVar  `r')  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (\mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a  \mmember{}  |r|)  BY
                          (Auto  THEN  Using  [`T',\mkleeneopen{}bag(Atom)\mkleeneclose{}]  MemCD\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  BLemma  `fps-ext`
  THEN  Auto
  THEN  RepUR  ``fps-zero  fps-atom  fps-single  fps-compose  fps-coeff``  0
  THEN  RepUR  ``fps-sub  fps-add  fps-scalar-mul  fps-coeff  fps-one  fps-neg``  0
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mSigma{}(L\mmember{}bag-parts'(eq;b;x)).  if  bag-eq(eq;hd(L)  +  bag-rep(||tl(L)||;x);\{x\})
                                                                              then  1
                                                                              else  0
                                                                              fi   
                                                                              * 
                                                                              \mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a
                            =  \mSigma{}(L\mmember{}bag-parts'(eq;b;x)).  if  bag-eq(eq;hd(L)  +  bag-rep(||tl(L)||;x);\{x\})
                                  then  \mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a
                                  else  0
                                  fi  \mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index