---

Step * of Lemma fps-compose-atom-neq

No Annotations
∀[X:Type]
  ∀[eq:EqDecider(X)]. ∀[r:CRng]. ∀[x,y:X].
    ∀[f:PowerSeries(X;r)]. (atom(y)(x:=f) = atom(y) ∈ PowerSeries(X;r)) supposing ¬(x = y ∈ X) 
  supposing valueall-type(X)
BY
{ (Auto
   THEN ((InstLemma `rng_plus_comm` [⌜r⌝]⋅ THENA Auto) THEN Fold `comm` (-1))
   THEN (Assert Assoc(|r|;*) ∧ Comm(|r|;*) ∧ IsMonoid(|r|;+r;0) BY
               (RepeatFor 2 (DVar `r') THEN Auto))
   THEN (Assert ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|) BY
               (Auto THEN Using [`T',⌜bag(X)⌝] MemCD⋅ THEN Auto))
   THEN BLemma `fps-ext`
   THEN Auto
   THEN RepUR ``fps-zero fps-atom fps-single fps-compose fps-coeff`` 0
   THEN Assert ⌜Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{y}) then 1 else 0 fi  
                                         * 
                                         Πa ∈ tl(L). f a
                = Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{y})
                   then Πa ∈ tl(L). f a
                   else 0
                   fi 
                ∈ |r|⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. y : X
7. ¬(x = y ∈ X)
8. f : PowerSeries(X;r)
9. Comm(|r|;+r)
10. Assoc(|r|;*)
11. Comm(|r|;*)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
14. b : bag(X)
⊢ Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{y}) then 1 else 0 fi  * Πa ∈ tl(L). f a
= Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{y}) then Πa ∈ tl(L). f a else 0 fi 
∈ |r|

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. y : X
7. ¬(x = y ∈ X)
8. f : PowerSeries(X;r)
9. Comm(|r|;+r)
10. Assoc(|r|;*)
11. Comm(|r|;*)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
14. b : bag(X)
15. Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{y}) then 1 else 0 fi  * Πa ∈ tl(L). f a
= Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{y}) then Πa ∈ tl(L). f a else 0 fi 
∈ |r|
⊢ Σ(L∈bag-parts'(eq;b;x)). if bag-eq(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x);{y}) then 1 else 0 fi  * Πa ∈ tl(L). f a
= if bag-eq(eq;b;{y}) then 1 else 0 fi 
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}[X:Type]
    \mforall{}[eq:EqDecider(X)].  \mforall{}[r:CRng].  \mforall{}[x,y:X].
        \mforall{}[f:PowerSeries(X;r)].  (atom(y)(x:=f)  =  atom(y))  supposing  \mneg{}(x  =  y) 
    supposing  valueall-type(X)


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  ((InstLemma  `rng\_plus\_comm`  [\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  Fold  `comm`  (-1))
  THEN  (Assert  Assoc(|r|;*)  \mwedge{}  Comm(|r|;*)  \mwedge{}  IsMonoid(|r|;+r;0)  BY
                          (RepeatFor  2  (DVar  `r')  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (\mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a  \mmember{}  |r|)  BY
                          (Auto  THEN  Using  [`T',\mkleeneopen{}bag(X)\mkleeneclose{}]  MemCD\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  BLemma  `fps-ext`
  THEN  Auto
  THEN  RepUR  ``fps-zero  fps-atom  fps-single  fps-compose  fps-coeff``  0
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mSigma{}(L\mmember{}bag-parts'(eq;b;x)).  if  bag-eq(eq;hd(L)  +  bag-rep(||tl(L)||;x);\{y\})
                                                                              then  1
                                                                              else  0
                                                                              fi   
                                                                              * 
                                                                              \mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a
                            =  \mSigma{}(L\mmember{}bag-parts'(eq;b;x)).  if  bag-eq(eq;hd(L)  +  bag-rep(||tl(L)||;x);\{y\})
                                  then  \mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a
                                  else  0
                                  fi  \mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index