---

Step * of Lemma fps-compose-fps-product

∀[X:Type]
  ∀[eq:EqDecider(X)]. ∀[r:CRng]. ∀[x:X]. ∀[f:PowerSeries(X;r)]. ∀[T:Type]. ∀[b:bag(T)]. ∀[G:T ⟶ PowerSeries(X;r)].
    (Π(i∈b).G[i](x:=f) = Π(i∈b).G[i](x:=f) ∈ PowerSeries(X;r)) 
  supposing valueall-type(X)
BY
{ (Auto
   THEN (Assert Assoc(PowerSeries(X;r);λi,y. (i*y)) ∧ Comm(PowerSeries(X;r);λi,y. (i*y)) BY
               (RepeatFor 2 (D 0) THEN (Reduce 0 THEN Auto) THEN FpsNorm 0 THEN Auto))
   THEN RepUR ``fps-product bag-product`` 0
   THEN BagInd (-3)
   THEN Auto
   THEN Folds ``empty-bag cons-bag`` 0
   THEN RWW "bag-summation-empty fps-compose-one" 0
   THEN Auto
   THEN (RWO "cons-bag-as-append" 0 THENA Auto)
   THEN ((RWW "bag-summation-append" 0 THENM (Reduce 0 THEN RWO "bag-summation-single" 0)) THENA Auto)) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. f : PowerSeries(X;r)
7. T : Type
8. G : T ⟶ PowerSeries(X;r)
9. Assoc(PowerSeries(X;r);λi,y. (i*y))
10. Comm(PowerSeries(X;r);λi,y. (i*y))
11. u : T
12. v : T List
13. Σ(i∈v). G[i](x:=f) = Σ(i∈v). G[i](x:=f) ∈ PowerSeries(X;r)
⊢ IsMonoid(PowerSeries(X;r);λi,y. (i*y);1)

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. f : PowerSeries(X;r)
7. T : Type
8. G : T ⟶ PowerSeries(X;r)
9. Assoc(PowerSeries(X;r);λi,y. (i*y))
10. Comm(PowerSeries(X;r);λi,y. (i*y))
11. u : T
12. v : T List
13. Σ(i∈v). G[i](x:=f) = Σ(i∈v). G[i](x:=f) ∈ PowerSeries(X;r)
⊢ (G[u]*Σ(i∈v). G[i])(x:=f) = (G[u](x:=f)*Σ(i∈v). G[i](x:=f)) ∈ PowerSeries(X;r)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[X:Type]
    \mforall{}[eq:EqDecider(X)].  \mforall{}[r:CRng].  \mforall{}[x:X].  \mforall{}[f:PowerSeries(X;r)].  \mforall{}[T:Type].  \mforall{}[b:bag(T)].
    \mforall{}[G:T  {}\mrightarrow{}  PowerSeries(X;r)].
        (\mPi{}(i\mmember{}b).G[i](x:=f)  =  \mPi{}(i\mmember{}b).G[i](x:=f)) 
    supposing  valueall-type(X)


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (Assert  Assoc(PowerSeries(X;r);\mlambda{}i,y.  (i*y))  \mwedge{}  Comm(PowerSeries(X;r);\mlambda{}i,y.  (i*y))  BY
                          (RepeatFor  2  (D  0)  THEN  (Reduce  0  THEN  Auto)  THEN  FpsNorm  0  THEN  Auto))
  THEN  RepUR  ``fps-product  bag-product``  0
  THEN  BagInd  (-3)
  THEN  Auto
  THEN  Folds  ``empty-bag  cons-bag``  0
  THEN  RWW  "bag-summation-empty  fps-compose-one"  0
  THEN  Auto
  THEN  (RWO  "cons-bag-as-append"  0  THENA  Auto)
  THEN  ((RWW  "bag-summation-append"  0  THENM  (Reduce  0  THEN  RWO  "bag-summation-single"  0))
              THENA  Auto
              ))

---

Home Index