---

Step * 1 1 1 1 of Lemma fps-compose-mul


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. g : PowerSeries(X;r)
7. f : PowerSeries(X;r)
8. h : PowerSeries(X;r)
9. ∀L:bag(X) List+. (||L|| ≥ 1 )
10. Assoc(|r|;+r)
11. IsMonoid(|r|;+r;0)
12. Comm(|r|;+r)
13. Comm(|r|;*)
14. Assoc(|r|;*)
15. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
16. b : bag(X)
⊢ (∀p:bag(X) List+ × bag(X) List+
     (p ↓∈ ⋃p∈bag-partitions(eq;b).bag-parts'(eq;fst(p);x) × bag-parts'(eq;snd(p);x)
     ⇒ ((((g (hd(fst(p)) + bag-rep(||tl(fst(p))||;x))) * Πa ∈ tl(fst(p)). f a) 
          * 
          ((h (hd(snd(p)) + bag-rep(||tl(snd(p))||;x))) * Πa ∈ tl(snd(p)). f a))
        = (((g (hd(fst(p)) + bag-rep(||tl(fst(p))||;x))) * Πa ∈ tl(fst(p)). f a) 
           * 
           ((h (hd(snd(p)) + bag-rep(||tl(snd(p))||;x))) * Πa ∈ tl(snd(p)). f a))
        ∈ |r|)))
∧ (⋃p∈bag-partitions(eq;b).bag-parts'(eq;fst(p);x) × bag-parts'(eq;snd(p);x)
  = bag-map(λ2p.snd(p);⋃p∈bag-partitions(eq;b).bag-map(λp1.<p, p1>;bag-parts'(eq;fst(p);x) × bag-parts'(eq;snd(p);x)))
  ∈ bag(bag(X) List+ × bag(X) List+))
BY
{ (Auto THEN Try (Complete ((D (-2) THEN Reduce 0 THEN BackThruSomeHyp)))) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. g : PowerSeries(X;r)
7. f : PowerSeries(X;r)
8. h : PowerSeries(X;r)
9. ∀L:bag(X) List+. (||L|| ≥ 1 )
10. Assoc(|r|;+r)
11. IsMonoid(|r|;+r;0)
12. Comm(|r|;+r)
13. Comm(|r|;*)
14. Assoc(|r|;*)
15. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
16. b : bag(X)
17. ∀p:bag(X) List+ × bag(X) List+
      (p ↓∈ ⋃p∈bag-partitions(eq;b).bag-parts'(eq;fst(p);x) × bag-parts'(eq;snd(p);x)
      ⇒ ((((g (hd(fst(p)) + bag-rep(||tl(fst(p))||;x))) * Πa ∈ tl(fst(p)). f a) 
           * 
           ((h (hd(snd(p)) + bag-rep(||tl(snd(p))||;x))) * Πa ∈ tl(snd(p)). f a))
         = (((g (hd(fst(p)) + bag-rep(||tl(fst(p))||;x))) * Πa ∈ tl(fst(p)). f a) 
            * 
            ((h (hd(snd(p)) + bag-rep(||tl(snd(p))||;x))) * Πa ∈ tl(snd(p)). f a))
         ∈ |r|))
⊢ ⋃p∈bag-partitions(eq;b).bag-parts'(eq;fst(p);x) × bag-parts'(eq;snd(p);x)
= bag-map(λ2p.snd(p);⋃p∈bag-partitions(eq;b).bag-map(λp1.<p, p1>;bag-parts'(eq;fst(p);x) × bag-parts'(eq;snd(p);x)))
∈ bag(bag(X) List+ × bag(X) List+)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  x  :  X
6.  g  :  PowerSeries(X;r)
7.  f  :  PowerSeries(X;r)
8.  h  :  PowerSeries(X;r)
9.  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (||L||  \mgeq{}  1  )
10.  Assoc(|r|;+r)
11.  IsMonoid(|r|;+r;0)
12.  Comm(|r|;+r)
13.  Comm(|r|;*)
14.  Assoc(|r|;*)
15.  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (\mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a  \mmember{}  |r|)
16.  b  :  bag(X)
\mvdash{}  (\mforall{}p:bag(X)  List\msupplus{}  \mtimes{}  bag(X)  List\msupplus{}
          (p  \mdownarrow{}\mmember{}  \mcup{}p\mmember{}bag-partitions(eq;b).bag-parts'(eq;fst(p);x)  \mtimes{}  bag-parts'(eq;snd(p);x)
          {}\mRightarrow{}  ((((g  (hd(fst(p))  +  bag-rep(||tl(fst(p))||;x)))  *  \mPi{}a  \mmember{}  tl(fst(p)).  f  a) 
                    * 
                    ((h  (hd(snd(p))  +  bag-rep(||tl(snd(p))||;x)))  *  \mPi{}a  \mmember{}  tl(snd(p)).  f  a))
                =  (((g  (hd(fst(p))  +  bag-rep(||tl(fst(p))||;x)))  *  \mPi{}a  \mmember{}  tl(fst(p)).  f  a) 
                      * 
                      ((h  (hd(snd(p))  +  bag-rep(||tl(snd(p))||;x)))  *  \mPi{}a  \mmember{}  tl(snd(p)).  f  a)))))
\mwedge{}  (\mcup{}p\mmember{}bag-partitions(eq;b).bag-parts'(eq;fst(p);x)  \mtimes{}  bag-parts'(eq;snd(p);x)
    =  bag-map(\mlambda{}\msubtwo{}p.snd(p);\mcup{}p\mmember{}bag-partitions(eq;b).
                                              bag-map(\mlambda{}p1.<p,  p1>bag-parts'(eq;fst(p);x)  \mtimes{}  bag-parts'(eq;snd(p);x))))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  Try  (Complete  ((D  (-2)  THEN  Reduce  0  THEN  BackThruSomeHyp))))

---

Home Index