---

Step * 1 2 1 1 3 2 1 of Lemma fps-compose-mul


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. g : PowerSeries(X;r)
7. f : PowerSeries(X;r)
8. h : PowerSeries(X;r)
9. ∀L:bag(X) List+. (||L|| ≥ 1 )
10. Assoc(|r|;+r)
11. IsMonoid(|r|;+r;0)
12. Comm(|r|;+r)
13. Comm(|r|;*)
14. Assoc(|r|;*)
15. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
16. b : bag(X)
⊢ ∀x@0:bag(X) List+ × bag(X) × bag(X)
    (x@0 ↓∈ ⋃L∈bag-parts'(eq;b;x).bag-map(λp.<L, p>;bag-partitions(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x)))
    ⇒ (((* (g (fst(snd(x@0)))) (h (snd(snd(x@0))))) * Πa ∈ tl(fst(x@0)). f a)
       = (((g 
            (hd(fst(let L,b1,b2 = x@0 in 
            <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>))
            + bag-rep(||tl(fst(let L,b1,b2 = x@0 in 
              <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>))||;x))) 
           * 
           Πa ∈ tl(fst(let L,b1,b2 = x@0 in 
           <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>)). f a) 
          * 
          ((h 
            (hd(snd(let L,b1,b2 = x@0 in 
            <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>))
            + bag-rep(||tl(snd(let L,b1,b2 = x@0 in 
              <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>))||;x))) 
           * 
           Πa ∈ tl(snd(let L,b1,b2 = x@0 in 
           <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>)). f a))
       ∈ |r|))
BY
{ TACTIC:((D 0 THENA Auto) THEN (D 0 THENA (Folds ``hdp tlp`` 0 THEN Auto))) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. g : PowerSeries(X;r)
7. f : PowerSeries(X;r)
8. h : PowerSeries(X;r)
9. ∀L:bag(X) List+. (||L|| ≥ 1 )
10. Assoc(|r|;+r)
11. IsMonoid(|r|;+r;0)
12. Comm(|r|;+r)
13. Comm(|r|;*)
14. Assoc(|r|;*)
15. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
16. b : bag(X)
17. x@0 : bag(X) List+ × bag(X) × bag(X)
18. x@0 ↓∈ ⋃L∈bag-parts'(eq;b;x).bag-map(λp.<L, p>;bag-partitions(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x)))
⊢ ((* (g (fst(snd(x@0)))) (h (snd(snd(x@0))))) * Πa ∈ tl(fst(x@0)). f a)
= (((g 
     (hd(fst(let L,b1,b2 = x@0 in 
     <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>))
     + bag-rep(||tl(fst(let L,b1,b2 = x@0 in 
       <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>))||;x))) 
    * 
    Πa ∈ tl(fst(let L,b1,b2 = x@0 in 
    <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>)). f a) 
   * 
   ((h 
     (hd(snd(let L,b1,b2 = x@0 in 
     <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>))
     + bag-rep(||tl(snd(let L,b1,b2 = x@0 in 
       <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>))||;x))) 
    * 
    Πa ∈ tl(snd(let L,b1,b2 = x@0 in 
    <[(b1|¬x) / firstn(#((b1|x));tl(L))], [(b2|¬x) / nth_tl(#((b1|x));tl(L))]>)). f a))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  x  :  X
6.  g  :  PowerSeries(X;r)
7.  f  :  PowerSeries(X;r)
8.  h  :  PowerSeries(X;r)
9.  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (||L||  \mgeq{}  1  )
10.  Assoc(|r|;+r)
11.  IsMonoid(|r|;+r;0)
12.  Comm(|r|;+r)
13.  Comm(|r|;*)
14.  Assoc(|r|;*)
15.  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (\mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a  \mmember{}  |r|)
16.  b  :  bag(X)
\mvdash{}  \mforall{}x@0:bag(X)  List\msupplus{}  \mtimes{}  bag(X)  \mtimes{}  bag(X)
        (x@0  \mdownarrow{}\mmember{}  \mcup{}L\mmember{}bag-parts'(eq;b;x).bag-map(\mlambda{}p.<L,  p>bag-partitions(eq;hd(L)  +  bag-rep(||tl(L)||;x)))
        {}\mRightarrow{}  (((*  (g  (fst(snd(x@0))))  (h  (snd(snd(x@0)))))  *  \mPi{}a  \mmember{}  tl(fst(x@0)).  f  a)
              =  (((g 
                        (hd(fst(let  L,b1,b2  =  x@0  in 
                        <[(b1|\mneg{}x)  /  firstn(\#((b1|x));tl(L))],  [(b2|\mneg{}x)  /  nth\_tl(\#((b1|x));tl(L))]>))
                        +  bag-rep(||tl(fst(let  L,b1,b2  =  x@0  in 
                            <[(b1|\mneg{}x)  /  firstn(\#((b1|x));tl(L))],  [(b2|\mneg{}x)  /  nth\_tl(\#((b1|x));tl(L))]>))||;x))) 
                      * 
                      \mPi{}a  \mmember{}  tl(fst(let  L,b1,b2  =  x@0  in 
                      <[(b1|\mneg{}x)  /  firstn(\#((b1|x));tl(L))],  [(b2|\mneg{}x)  /  nth\_tl(\#((b1|x));tl(L))]>)).  f  a) 
                    * 
                    ((h 
                        (hd(snd(let  L,b1,b2  =  x@0  in 
                        <[(b1|\mneg{}x)  /  firstn(\#((b1|x));tl(L))],  [(b2|\mneg{}x)  /  nth\_tl(\#((b1|x));tl(L))]>))
                        +  bag-rep(||tl(snd(let  L,b1,b2  =  x@0  in 
                            <[(b1|\mneg{}x)  /  firstn(\#((b1|x));tl(L))],  [(b2|\mneg{}x)  /  nth\_tl(\#((b1|x));tl(L))]>))||;x))) 
                      * 
                      \mPi{}a  \mmember{}  tl(snd(let  L,b1,b2  =  x@0  in 
                      <[(b1|\mneg{}x)  /  firstn(\#((b1|x));tl(L))],  [(b2|\mneg{}x)  /  nth\_tl(\#((b1|x));tl(L))]>)).  f  a))))


By

---

Latex:
TACTIC:((D  0  THENA  Auto)  THEN  (D  0  THENA  (Folds  ``hdp  tlp``  0  THEN  Auto)))

---

Home Index