---

Step * 4 of Lemma fps-deriv-compose


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
8. fps-ucont(X;eq;r;f.df(x:=g)/dx)
9. fps-ucont(X;eq;r;f.(df/dx(x:=g)*dg/dx))
10. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).  (d(f+g@0)(x:=g)/dx = (df(x:=g)/dx+dg@0(x:=g)/dx) ∈ PowerSeries(X;r))
11. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).
      ((d(f+g@0)/dx(x:=g)*dg/dx) = ((df/dx(x:=g)*dg/dx)+(dg@0/dx(x:=g)*dg/dx)) ∈ PowerSeries(X;r))
12. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  (d(c)*f(x:=g)/dx = (c)*df(x:=g)/dx ∈ PowerSeries(X;r))
13. c : |r|
14. f1 : PowerSeries(X;r)
⊢ (d(c)*f1/dx(x:=g)*dg/dx) = (c)*(df1/dx(x:=g)*dg/dx) ∈ PowerSeries(X;r)
BY
{ (RWW  "fps-deriv-scalar-mul fps-compose-scalar-mul" 0 THEN Auto THEN RWO "fps-scalar-mul-mul.1" 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  f  :  PowerSeries(X;r)
6.  g  :  PowerSeries(X;r)
7.  x  :  X
8.  fps-ucont(X;eq;r;f.df(x:=g)/dx)
9.  fps-ucont(X;eq;r;f.(df/dx(x:=g)*dg/dx))
10.  \mforall{}f,g@0:PowerSeries(X;r).    (d(f+g@0)(x:=g)/dx  =  (df(x:=g)/dx+dg@0(x:=g)/dx))
11.  \mforall{}f,g@0:PowerSeries(X;r).
            ((d(f+g@0)/dx(x:=g)*dg/dx)  =  ((df/dx(x:=g)*dg/dx)+(dg@0/dx(x:=g)*dg/dx)))
12.  \mforall{}c:|r|.  \mforall{}f:PowerSeries(X;r).    (d(c)*f(x:=g)/dx  =  (c)*df(x:=g)/dx)
13.  c  :  |r|
14.  f1  :  PowerSeries(X;r)
\mvdash{}  (d(c)*f1/dx(x:=g)*dg/dx)  =  (c)*(df1/dx(x:=g)*dg/dx)


By

---

Latex:
(RWW    "fps-deriv-scalar-mul  fps-compose-scalar-mul"  0
  THEN  Auto
  THEN  RWO  "fps-scalar-mul-mul.1"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index