---

Step * 7 7 1 1 of Lemma fps-deriv-mul


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
8. fps-ucont(X;eq;r;f.d(f*g)/dx)
9. fps-ucont(X;eq;r;f.((f*dg/dx)+(df/dx*g)))
10. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).  (d((f+g@0)*g)/dx = (d(f*g)/dx+d(g@0*g)/dx) ∈ PowerSeries(X;r))
11. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).
      ((((f+g@0)*dg/dx)+(d(f+g@0)/dx*g)) = (((f*dg/dx)+(df/dx*g))+((g@0*dg/dx)+(dg@0/dx*g))) ∈ PowerSeries(X;r))
12. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  (d((c)*f*g)/dx = (c)*d(f*g)/dx ∈ PowerSeries(X;r))
13. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  ((((c)*f*dg/dx)+(d(c)*f/dx*g)) = (c)*((f*dg/dx)+(df/dx*g)) ∈ PowerSeries(X;r))
14. b : bag(X)
15. fps-ucont(X;eq;r;f.d(<b>*f)/dx)
16. fps-ucont(X;eq;r;f.((<b>*df/dx)+(d<b>/dx*f)))
17. ∀f,g:PowerSeries(X;r).  (d(<b>*(f+g))/dx = (d(<b>*f)/dx+d(<b>*g)/dx) ∈ PowerSeries(X;r))
18. ∀f,g:PowerSeries(X;r).
      (((<b>*d(f+g)/dx)+(d<b>/dx*(f+g))) = (((<b>*df/dx)+(d<b>/dx*f))+((<b>*dg/dx)+(d<b>/dx*g))) ∈ PowerSeries(X;r))
19. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  (d(<b>*(c)*f)/dx = (c)*d(<b>*f)/dx ∈ PowerSeries(X;r))
20. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  (((<b>*d(c)*f/dx)+(d<b>/dx*(c)*f)) = (c)*((<b>*df/dx)+(d<b>/dx*f)) ∈ PowerSeries(X;r))
21. c : bag(X)
22. (#x in b) = 0 ∈ ℤ
⊢ (int-to-ring(r;(#x in b + c)))*<b + bag-drop(eq;c;x)>
= ((int-to-ring(r;(#x in c)))*<b + bag-drop(eq;c;x)>+(int-to-ring(r;(#x in b)))*<c + bag-drop(eq;b;x)>)
∈ PowerSeries(X;r)
BY
{ (HypSubst' (-1) 0
   THEN (RWO  "int-to-ring-zero" 0 THENA Auto)
   THEN RWO "fps-scalar-mul-zero" 0
   THEN Auto
   THEN (RW FpsNormC 0 THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (EqCDA)
   THEN Auto) }

1
.....subterm..... T:t
2:n
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
8. fps-ucont(X;eq;r;f.d(f*g)/dx)
9. fps-ucont(X;eq;r;f.((f*dg/dx)+(df/dx*g)))
10. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).  (d((f+g@0)*g)/dx = (d(f*g)/dx+d(g@0*g)/dx) ∈ PowerSeries(X;r))
11. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).
      ((((f+g@0)*dg/dx)+(d(f+g@0)/dx*g)) = (((f*dg/dx)+(df/dx*g))+((g@0*dg/dx)+(dg@0/dx*g))) ∈ PowerSeries(X;r))
12. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  (d((c)*f*g)/dx = (c)*d(f*g)/dx ∈ PowerSeries(X;r))
13. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  ((((c)*f*dg/dx)+(d(c)*f/dx*g)) = (c)*((f*dg/dx)+(df/dx*g)) ∈ PowerSeries(X;r))
14. b : bag(X)
15. fps-ucont(X;eq;r;f.d(<b>*f)/dx)
16. fps-ucont(X;eq;r;f.((<b>*df/dx)+(d<b>/dx*f)))
17. ∀f,g:PowerSeries(X;r).  (d(<b>*(f+g))/dx = (d(<b>*f)/dx+d(<b>*g)/dx) ∈ PowerSeries(X;r))
18. ∀f,g:PowerSeries(X;r).
      (((<b>*d(f+g)/dx)+(d<b>/dx*(f+g))) = (((<b>*df/dx)+(d<b>/dx*f))+((<b>*dg/dx)+(d<b>/dx*g))) ∈ PowerSeries(X;r))
19. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  (d(<b>*(c)*f)/dx = (c)*d(<b>*f)/dx ∈ PowerSeries(X;r))
20. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  (((<b>*d(c)*f/dx)+(d<b>/dx*(c)*f)) = (c)*((<b>*df/dx)+(d<b>/dx*f)) ∈ PowerSeries(X;r))
21. c : bag(X)
22. (#x in b) = 0 ∈ ℤ
⊢ (#x in b + c) = (#x in c) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  f  :  PowerSeries(X;r)
6.  g  :  PowerSeries(X;r)
7.  x  :  X
8.  fps-ucont(X;eq;r;f.d(f*g)/dx)
9.  fps-ucont(X;eq;r;f.((f*dg/dx)+(df/dx*g)))
10.  \mforall{}f,g@0:PowerSeries(X;r).    (d((f+g@0)*g)/dx  =  (d(f*g)/dx+d(g@0*g)/dx))
11.  \mforall{}f,g@0:PowerSeries(X;r).
            ((((f+g@0)*dg/dx)+(d(f+g@0)/dx*g))  =  (((f*dg/dx)+(df/dx*g))+((g@0*dg/dx)+(dg@0/dx*g))))
12.  \mforall{}c:|r|.  \mforall{}f:PowerSeries(X;r).    (d((c)*f*g)/dx  =  (c)*d(f*g)/dx)
13.  \mforall{}c:|r|.  \mforall{}f:PowerSeries(X;r).    ((((c)*f*dg/dx)+(d(c)*f/dx*g))  =  (c)*((f*dg/dx)+(df/dx*g)))
14.  b  :  bag(X)
15.  fps-ucont(X;eq;r;f.d(<b>*f)/dx)
16.  fps-ucont(X;eq;r;f.((<b>*df/dx)+(d<b>/dx*f)))
17.  \mforall{}f,g:PowerSeries(X;r).    (d(<b>*(f+g))/dx  =  (d(<b>*f)/dx+d(<b>*g)/dx))
18.  \mforall{}f,g:PowerSeries(X;r).
            (((<b>*d(f+g)/dx)+(d<b>/dx*(f+g)))  =  (((<b>*df/dx)+(d<b>/dx*f))+((<b>*dg/dx)+(d<b>/dx*g))))
19.  \mforall{}c:|r|.  \mforall{}f:PowerSeries(X;r).    (d(<b>*(c)*f)/dx  =  (c)*d(<b>*f)/dx)
20.  \mforall{}c:|r|.  \mforall{}f:PowerSeries(X;r).
            (((<b>*d(c)*f/dx)+(d<b>/dx*(c)*f))  =  (c)*((<b>*df/dx)+(d<b>/dx*f)))
21.  c  :  bag(X)
22.  (\#x  in  b)  =  0
\mvdash{}  (int-to-ring(r;(\#x  in  b  +  c)))*<b  +  bag-drop(eq;c;x)>
=  ((int-to-ring(r;(\#x  in  c)))*<b  +  bag-drop(eq;c;x)>+(int-to-ring(r;(\#x  in  b)))*<c
      +  bag-drop(eq;b;x)>)


By

---

Latex:
(HypSubst'  (-1)  0
  THEN  (RWO    "int-to-ring-zero"  0  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "fps-scalar-mul-zero"  0
  THEN  Auto
  THEN  (RW  FpsNormC  0  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (EqCDA)
  THEN  Auto)

---

Home Index