---

Step * of Lemma fps-deriv-mul

∀[X:Type]
  ∀[eq:EqDecider(X)]. ∀[r:CRng]. ∀[f,g:PowerSeries(X;r)]. ∀[x:X].
    (d(f*g)/dx = ((f*dg/dx)+(df/dx*g)) ∈ PowerSeries(X;r)) 
  supposing valueall-type(X)
BY
{ (Auto
   THEN (InstLemma `fps-linear-ucont-equal` [⌜X⌝;⌜eq⌝;⌜r⌝;⌜λ2f.d(f*g)/dx⌝;⌜λ2f.((f*dg/dx)+(df/dx*g))⌝]⋅ THENA Auto)
   ) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
⊢ fps-ucont(X;eq;r;f.d(f*g)/dx)

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
8. fps-ucont(X;eq;r;f.d(f*g)/dx)
⊢ fps-ucont(X;eq;r;f.((f*dg/dx)+(df/dx*g)))

3
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
8. fps-ucont(X;eq;r;f.d(f*g)/dx)
9. fps-ucont(X;eq;r;f.((f*dg/dx)+(df/dx*g)))
10. f1 : PowerSeries(X;r)
11. g@0 : PowerSeries(X;r)
⊢ d((f1+g@0)*g)/dx = (d(f1*g)/dx+d(g@0*g)/dx) ∈ PowerSeries(X;r)

4
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
8. fps-ucont(X;eq;r;f.d(f*g)/dx)
9. fps-ucont(X;eq;r;f.((f*dg/dx)+(df/dx*g)))
10. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).  (d((f+g@0)*g)/dx = (d(f*g)/dx+d(g@0*g)/dx) ∈ PowerSeries(X;r))
11. f1 : PowerSeries(X;r)
12. g@0 : PowerSeries(X;r)
⊢ (((f1+g@0)*dg/dx)+(d(f1+g@0)/dx*g)) = (((f1*dg/dx)+(df1/dx*g))+((g@0*dg/dx)+(dg@0/dx*g))) ∈ PowerSeries(X;r)

5
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
8. fps-ucont(X;eq;r;f.d(f*g)/dx)
9. fps-ucont(X;eq;r;f.((f*dg/dx)+(df/dx*g)))
10. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).  (d((f+g@0)*g)/dx = (d(f*g)/dx+d(g@0*g)/dx) ∈ PowerSeries(X;r))
11. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).
      ((((f+g@0)*dg/dx)+(d(f+g@0)/dx*g)) = (((f*dg/dx)+(df/dx*g))+((g@0*dg/dx)+(dg@0/dx*g))) ∈ PowerSeries(X;r))
12. c : |r|
13. f1 : PowerSeries(X;r)
⊢ d((c)*f1*g)/dx = (c)*d(f1*g)/dx ∈ PowerSeries(X;r)

6
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
8. fps-ucont(X;eq;r;f.d(f*g)/dx)
9. fps-ucont(X;eq;r;f.((f*dg/dx)+(df/dx*g)))
10. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).  (d((f+g@0)*g)/dx = (d(f*g)/dx+d(g@0*g)/dx) ∈ PowerSeries(X;r))
11. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).
      ((((f+g@0)*dg/dx)+(d(f+g@0)/dx*g)) = (((f*dg/dx)+(df/dx*g))+((g@0*dg/dx)+(dg@0/dx*g))) ∈ PowerSeries(X;r))
12. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  (d((c)*f*g)/dx = (c)*d(f*g)/dx ∈ PowerSeries(X;r))
13. c : |r|
14. f1 : PowerSeries(X;r)
⊢ (((c)*f1*dg/dx)+(d(c)*f1/dx*g)) = (c)*((f1*dg/dx)+(df1/dx*g)) ∈ PowerSeries(X;r)

7
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
8. fps-ucont(X;eq;r;f.d(f*g)/dx)
9. fps-ucont(X;eq;r;f.((f*dg/dx)+(df/dx*g)))
10. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).  (d((f+g@0)*g)/dx = (d(f*g)/dx+d(g@0*g)/dx) ∈ PowerSeries(X;r))
11. ∀f,g@0:PowerSeries(X;r).
      ((((f+g@0)*dg/dx)+(d(f+g@0)/dx*g)) = (((f*dg/dx)+(df/dx*g))+((g@0*dg/dx)+(dg@0/dx*g))) ∈ PowerSeries(X;r))
12. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  (d((c)*f*g)/dx = (c)*d(f*g)/dx ∈ PowerSeries(X;r))
13. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(X;r).  ((((c)*f*dg/dx)+(d(c)*f/dx*g)) = (c)*((f*dg/dx)+(df/dx*g)) ∈ PowerSeries(X;r))
14. b : bag(X)
⊢ d(<b>*g)/dx = ((<b>*dg/dx)+(d<b>/dx*g)) ∈ PowerSeries(X;r)

8
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : X
8. λ2f.d(f*g)/dx = λ2f.((f*dg/dx)+(df/dx*g)) ∈ (PowerSeries(X;r) ⟶ PowerSeries(X;r))
⊢ d(f*g)/dx = ((f*dg/dx)+(df/dx*g)) ∈ PowerSeries(X;r)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[X:Type]
    \mforall{}[eq:EqDecider(X)].  \mforall{}[r:CRng].  \mforall{}[f,g:PowerSeries(X;r)].  \mforall{}[x:X].
        (d(f*g)/dx  =  ((f*dg/dx)+(df/dx*g))) 
    supposing  valueall-type(X)


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (InstLemma  `fps-linear-ucont-equal`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}eq\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}f.d(f*g)/dx\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}f.((f*dg/dx)+(df/dx*g))\mkleeneclose{}]
              \mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  )

---

Home Index