---

Step * 1 1 2 1 2 of Lemma fps-geometric-slice_lemma


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. n : ℕ+m + 1
7. g : PowerSeries(X;r)
8. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
9. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
10. 0 = fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k)) ∈ PowerSeries(X;r)
⊢ (([(1-g)]_0*[(1÷(1-g))]_m - 0)+([(1-g)]_n*[(1÷(1-g))]_m - n))
= fps-summation(r;{0} + {n};k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
∈ PowerSeries(X;r)
BY
{ xxxAssert ⌜IsMonoid(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y);0) ∧ Comm(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y))⌝⋅xxx }

1
.....assertion..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. n : ℕ+m + 1
7. g : PowerSeries(X;r)
8. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
9. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
10. 0 = fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k)) ∈ PowerSeries(X;r)
⊢ IsMonoid(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y);0) ∧ Comm(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y))

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. n : ℕ+m + 1
7. g : PowerSeries(X;r)
8. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
9. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
10. 0 = fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k)) ∈ PowerSeries(X;r)
11. IsMonoid(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y);0) ∧ Comm(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y))
⊢ (([(1-g)]_0*[(1÷(1-g))]_m - 0)+([(1-g)]_n*[(1÷(1-g))]_m - n))
= fps-summation(r;{0} + {n};k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
∈ PowerSeries(X;r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  m  :  \mBbbN{}
6.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}m  +  1
7.  g  :  PowerSeries(X;r)
8.  g  =  [g]\_n
9.  IsRing(PowerSeries(X;r);\mlambda{}f,g.  (f+g);0;\mlambda{}f.-(f);\mlambda{}f,g.  (f*g);1)
10.  0  =  fps-summation(r;upto(m  +  1);k.([(1-g)]\_k*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  k))
\mvdash{}  (([(1-g)]\_0*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  0)+([(1-g)]\_n*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  n))
=  fps-summation(r;\{0\}  +  \{n\};k.([(1-g)]\_k*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  k))


By

---

Latex:
xxxAssert  \mkleeneopen{}IsMonoid(PowerSeries(X;r);\mlambda{}k,y.  (k+y);0)  \mwedge{}  Comm(PowerSeries(X;r);\mlambda{}k,y.  (k+y))\mkleeneclose{}\mcdot{}xxx

---

Home Index