---

Step * 1 of Lemma fps-mul-slice


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
⊢ [(f*g)]_n[x] = Σ(k∈upto(n + 1)). ([f]_k*[g]_n - k)[x] ∈ |r|
BY
{ xxx((Assert IsMonoid(|r|;+r;0) BY
             (RepeatFor 2 (DVar `r') THEN Auto))
      THEN (RepUR ``fps-mul fps-slice fps-coeff`` 0 THEN Fold `infix_ap` 0)
      THEN AutoSplit)xxx }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
⊢ Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). (f (fst(p))) * (g (snd(p)))
= Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). if (#(fst(p)) =z k) then f (fst(p)) else 0 fi  
                                               * 
                                               if (#(snd(p)) =z n - k) then g (snd(p)) else 0 fi 
∈ |r|

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. #(x) ≠ n
12. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
13. IsMonoid(|r|;+r;0)
⊢ 0
= Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). if (#(fst(p)) =z k) then f (fst(p)) else 0 fi  
                                               * 
                                               if (#(snd(p)) =z n - k) then g (snd(p)) else 0 fi 
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  f  :  PowerSeries(X;r)
7.  g  :  PowerSeries(X;r)
8.  Assoc(|r|;+r)
9.  Comm(|r|;+r)
10.  x  :  bag(X)
11.  upto(n  +  1)  \mmember{}  bag(\mBbbN{})
\mvdash{}  [(f*g)]\_n[x]  =  \mSigma{}(k\mmember{}upto(n  +  1)).  ([f]\_k*[g]\_n  -  k)[x]


By

---

Latex:
xxx((Assert  IsMonoid(|r|;+r;0)  BY
                      (RepeatFor  2  (DVar  `r')  THEN  Auto))
        THEN  (RepUR  ``fps-mul  fps-slice  fps-coeff``  0  THEN  Fold  `infix\_ap`  0)
        THEN  AutoSplit)xxx

---

Home Index