---

Step * 1 1 of Lemma fps-mul-slice


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
⊢ Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). (f (fst(p))) * (g (snd(p)))
= Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). if (#(fst(p)) =z k) then f (fst(p)) else 0 fi  
                                               * 
                                               if (#(snd(p)) =z n - k) then g (snd(p)) else 0 fi 
∈ |r|
BY
{ xxxAssert ⌜Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;x)|(#(fst(p)) =z k) ∧b (#(snd(p)) =z n - k)]). (f (fst(p))) 
                                                                                                       * 
                                                                                                       (g (snd(p)))
             = Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). if (#(fst(p)) =z k) then f (fst(p)) else 0 fi  
                                                            * 
                                                            if (#(snd(p)) =z n - k) then g (snd(p)) else 0 fi 
             ∈ |r|⌝⋅xxx }

1
.....assertion..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
⊢ Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;x)|(#(fst(p)) =z k) ∧b (#(snd(p)) =z n - k)]). (f (fst(p))) * (g (snd(p)))
= Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). if (#(fst(p)) =z k) then f (fst(p)) else 0 fi  
                                               * 
                                               if (#(snd(p)) =z n - k) then g (snd(p)) else 0 fi 
∈ |r|

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
14. Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;x)|(#(fst(p)) =z k) ∧b (#(snd(p)) =z n - k)]). (f (fst(p))) 
                                                                                              * 
                                                                                              (g (snd(p)))
= Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). if (#(fst(p)) =z k) then f (fst(p)) else 0 fi  
                                               * 
                                               if (#(snd(p)) =z n - k) then g (snd(p)) else 0 fi 
∈ |r|
⊢ Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). (f (fst(p))) * (g (snd(p)))
= Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). if (#(fst(p)) =z k) then f (fst(p)) else 0 fi  
                                               * 
                                               if (#(snd(p)) =z n - k) then g (snd(p)) else 0 fi 
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  f  :  PowerSeries(X;r)
7.  g  :  PowerSeries(X;r)
8.  Assoc(|r|;+r)
9.  Comm(|r|;+r)
10.  x  :  bag(X)
11.  upto(n  +  1)  \mmember{}  bag(\mBbbN{})
12.  IsMonoid(|r|;+r;0)
13.  \#(x)  =  n
\mvdash{}  \mSigma{}(p\mmember{}bag-partitions(eq;x)).  (f  (fst(p)))  *  (g  (snd(p)))
=  \mSigma{}(k\mmember{}upto(n  +  1)).  \mSigma{}(p\mmember{}bag-partitions(eq;x)).  if  (\#(fst(p))  =\msubz{}  k)  then  f  (fst(p))  else  0  fi   
                                                                                              * 
                                                                                              if  (\#(snd(p))  =\msubz{}  n  -  k)  then  g  (snd(p))  else  0  fi 


By

---

Latex:
xxxAssert  \mkleeneopen{}\mSigma{}(k\mmember{}upto(n  +  1)).  \mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;x)|(\#(fst(p))  =\msubz{}  k)  \mwedge{}\msubb{}  (\#(snd(p))  =\msubz{}  n  -  k)])
                                                            (f  (fst(p)))  *  (g  (snd(p)))
                      =  \mSigma{}(k\mmember{}upto(n  +  1)).  \mSigma{}(p\mmember{}bag-partitions(eq;x)).  if  (\#(fst(p))  =\msubz{}  k)
                                                                                                                    then  f  (fst(p))
                                                                                                                    else  0
                                                                                                                    fi   
                                                                                                                    * 
                                                                                                                    if  (\#(snd(p))  =\msubz{}  n  -  k)
                                                                                                                    then  g  (snd(p))
                                                                                                                    else  0
                                                                                                                    fi  \mkleeneclose{}\mcdot{}xxx

---

Home Index