---

Step * 1 1 1 1 1 1 2 2 1 of Lemma extend-half-cube-face


1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
16. ∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ (∀i:ℕk. d i ≤ c i))
17. b' : ℚCube(k)
18. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b' i;c i))
19. ∀i:ℕk. a i ≤ b' i
20. x : ℕk
21. ¬(x = i ∈ ℤ)
22. v3 : ℚ
23. v4 : ℚ
24. (c x) = <v3, v4> ∈ ℚInterval
25. v5 : ℚ
26. v6 : ℚ
27. (b x) = <v5, v6> ∈ ℚInterval
28. v7 : ℚ
29. v8 : ℚ
30. (b' x) = <v7, v8> ∈ ℚInterval
⊢ (((<v5, v6> = <v7, v7> ∈ ℚInterval) ∨ (<v5, v6> = <v8, v8> ∈ ℚInterval) ∨ (<v5, v6> = <v7, v8> ∈ ℚInterval))
∧ (((v5 = v3 ∈ ℚ) ∧ (v6 = qavg(v3;v4) ∈ ℚ)) ∨ ((v5 = qavg(v3;v4) ∈ ℚ) ∧ (v6 = v4 ∈ ℚ)))
∧ (((v7 = v3 ∈ ℚ) ∧ (v8 = qavg(v3;v4) ∈ ℚ)) ∨ ((v7 = qavg(v3;v4) ∈ ℚ) ∧ (v8 = v4 ∈ ℚ))))
⇒ (<v7, v8> = <v5, v6> ∈ ℚInterval)
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (D -3 THEN Try (D -3))
   THEN (EqHD (-3) THENA Auto)
   THEN All Reduce
   THEN SplitOrHyps
   THEN ExRepD
   THEN RationalElim ⌜v5⌝⋅
   THEN RationalElim ⌜v6⌝⋅
   THEN RationalElim ⌜v7⌝⋅
   THEN RationalElim ⌜v8⌝⋅
   THEN EqCD
   THEN Auto
   THEN All QavgSimp
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  b  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(a  i))
6.  0  <  dim(b)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b  i
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}is-half-interval(b  i;c  i))
9.  dim(a)  =  (dim(b)  -  1)
10.  i  :  \mBbbN{}k
11.  dim(c  i)  =  1
12.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((a  j)  =  (b  j)))
13.  (a  i)  =  [fst((b  i))]
14.  (fst((b  i)))  =  (fst((c  i)))
15.  (snd((b  i)))  =  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))
16.  \mexists{}!d:\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;a;d))  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  d  i  \mleq{}  c  i))
17.  b'  :  \mBbbQ{}Cube(k)
18.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}is-half-interval(b'  i;c  i))
19.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b'  i
20.  x  :  \mBbbN{}k
21.  \mneg{}(x  =  i)
22.  v3  :  \mBbbQ{}
23.  v4  :  \mBbbQ{}
24.  (c  x)  =  <v3,  v4>
25.  v5  :  \mBbbQ{}
26.  v6  :  \mBbbQ{}
27.  (b  x)  =  <v5,  v6>
28.  v7  :  \mBbbQ{}
29.  v8  :  \mBbbQ{}
30.  (b'  x)  =  <v7,  v8>
\mvdash{}  (((<v5,  v6>  =  <v7,  v7>)  \mvee{}  (<v5,  v6>  =  <v8,  v8>)  \mvee{}  (<v5,  v6>  =  <v7,  v8>))
\mwedge{}  (((v5  =  v3)  \mwedge{}  (v6  =  qavg(v3;v4)))  \mvee{}  ((v5  =  qavg(v3;v4))  \mwedge{}  (v6  =  v4)))
\mwedge{}  (((v7  =  v3)  \mwedge{}  (v8  =  qavg(v3;v4)))  \mvee{}  ((v7  =  qavg(v3;v4))  \mwedge{}  (v8  =  v4))))
{}\mRightarrow{}  (<v7,  v8>  =  <v5,  v6>)


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (D  -3  THEN  Try  (D  -3))
  THEN  (EqHD  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  All  Reduce
  THEN  SplitOrHyps
  THEN  ExRepD
  THEN  RationalElim  \mkleeneopen{}v5\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  RationalElim  \mkleeneopen{}v6\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  RationalElim  \mkleeneopen{}v7\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  RationalElim  \mkleeneopen{}v8\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  EqCD
  THEN  Auto
  THEN  All  QavgSimp
  THEN  Auto)

---

Home Index