---

Step * 1 1 1 1 4 1 2 1 of Lemma extend-half-cube-face


1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [snd((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = (snd((c i))) ∈ ℚ
16. ∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ (∀i:ℕk. d i ≤ c i))
17. b' : ℚCube(k)
18. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b' i;c i))
19. ∀i:ℕk. a i ≤ b' i
20. x : ℕk
21. [snd((b i))] ≤ b' i ∧ (↑is-half-interval(b i;c i)) ∧ (↑is-half-interval(b' i;c i))
22. x = i ∈ ℤ
⊢ (b' i) = (b i) ∈ ℚInterval
BY
{ (MoveToConcl (-2)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜c i⌝;⌜b i⌝;⌜b' i⌝]⋅
   THEN D -6
   THEN D -4
   THEN D -2
   THEN RepUR ``is-half-interval rat-point-interval rat-interval-face`` 0
   THEN (RW assert_pushdownC 0 THENA Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [snd((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = (snd((c i))) ∈ ℚ
16. ∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ (∀i:ℕk. d i ≤ c i))
17. b' : ℚCube(k)
18. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b' i;c i))
19. ∀i:ℕk. a i ≤ b' i
20. x : ℕk
21. x = i ∈ ℤ
22. v3 : ℚ
23. v4 : ℚ
24. (c i) = <v3, v4> ∈ ℚInterval
25. v5 : ℚ
26. v6 : ℚ
27. (b i) = <v5, v6> ∈ ℚInterval
28. v7 : ℚ
29. v8 : ℚ
30. (b' i) = <v7, v8> ∈ ℚInterval
⊢ (((<v6, v6> = <v7, v7> ∈ ℚInterval) ∨ (<v6, v6> = <v8, v8> ∈ ℚInterval) ∨ (<v6, v6> = <v7, v8> ∈ ℚInterval))
∧ (((v5 = v3 ∈ ℚ) ∧ (v6 = qavg(v3;v4) ∈ ℚ)) ∨ ((v5 = qavg(v3;v4) ∈ ℚ) ∧ (v6 = v4 ∈ ℚ)))
∧ (((v7 = v3 ∈ ℚ) ∧ (v8 = qavg(v3;v4) ∈ ℚ)) ∨ ((v7 = qavg(v3;v4) ∈ ℚ) ∧ (v8 = v4 ∈ ℚ))))
⇒ (<v7, v8> = <v5, v6> ∈ ℚInterval)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  b  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(a  i))
6.  0  <  dim(b)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b  i
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}is-half-interval(b  i;c  i))
9.  dim(a)  =  (dim(b)  -  1)
10.  i  :  \mBbbN{}k
11.  dim(c  i)  =  1
12.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((a  j)  =  (b  j)))
13.  (a  i)  =  [snd((b  i))]
14.  (fst((b  i)))  =  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))
15.  (snd((b  i)))  =  (snd((c  i)))
16.  \mexists{}!d:\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;a;d))  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  d  i  \mleq{}  c  i))
17.  b'  :  \mBbbQ{}Cube(k)
18.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}is-half-interval(b'  i;c  i))
19.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b'  i
20.  x  :  \mBbbN{}k
21.  [snd((b  i))]  \mleq{}  b'  i  \mwedge{}  (\muparrow{}is-half-interval(b  i;c  i))  \mwedge{}  (\muparrow{}is-half-interval(b'  i;c  i))
22.  x  =  i
\mvdash{}  (b'  i)  =  (b  i)


By

---

Latex:
(MoveToConcl  (-2)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}c  i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b  i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b'  i\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  D  -6
  THEN  D  -4
  THEN  D  -2
  THEN  RepUR  ``is-half-interval  rat-point-interval  rat-interval-face``  0
  THEN  (RW  assert\_pushdownC  0  THENA  Auto))

---

Home Index