---

Step * 1 1 1 1 1 2 1 1 1 of Lemma implies-member-rat-cube-faces


1. k : ℕ
2. c : ℚCube(k)
3. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
4. f : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
6. Σ(dim(f i) | i < k) = (Σ(dim(c i) | i < k) - 1) ∈ ℤ
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i))
8. ∀i:ℕk. (((f i) = (c i) ∈ ℚInterval) ∨ (dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ))
9. i : ℕk
10. dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ
11. j : ℕk
12. dim(f j) = (dim(c j) - 1) ∈ ℤ
13. ¬(j = i ∈ ℤ)
14. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[i] + Σ(if (x =z i) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing i < n
15. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[j] + Σ(if (x =z j) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing j < n
⊢ dim(f i) + dim(f j) + Σ(if (i1 =z j) then 0 if (i1 =z i) then 0 else dim(f i1) fi  | i1 < k) < (dim(c i)
+ dim(c j)
+ Σ(if (i1 =z j) then 0
  if (i1 =z i) then 0
  else dim(c i1)
  fi  | i1 < k)) - 1
BY
{ ((Assert ⌜Σ(if (i1 =z j) then 0
            if (i1 =z i) then 0
            else dim(f i1)
            fi  | i1 < k) ≤ Σ(if (i1 =z j) then 0
            if (i1 =z i) then 0
            else dim(c i1)
            fi  | i1 < k)⌝⋅
   THENM Auto
   )
   THEN BLemma `sum_le`
   THEN Auto) }

1
1. k : ℕ
2. c : ℚCube(k)
3. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
4. f : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
6. Σ(dim(f i) | i < k) = (Σ(dim(c i) | i < k) - 1) ∈ ℤ
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i))
8. ∀i:ℕk. (((f i) = (c i) ∈ ℚInterval) ∨ (dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ))
9. i : ℕk
10. dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ
11. j : ℕk
12. dim(f j) = (dim(c j) - 1) ∈ ℤ
13. ¬(j = i ∈ ℤ)
14. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[i] + Σ(if (x =z i) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing i < n
15. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[j] + Σ(if (x =z j) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing j < n
16. i1 : ℕk
⊢ if (i1 =z j) then 0
  if (i1 =z i) then 0
  else dim(f i1)
  fi  ≤ if (i1 =z j) then 0
  if (i1 =z i) then 0
  else dim(c i1)
  fi 

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(c  i))
4.  f  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  f  i  \mleq{}  c  i
6.  \mSigma{}(dim(f  i)  |  i  <  k)  =  (\mSigma{}(dim(c  i)  |  i  <  k)  -  1)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(f  i))
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((f  i)  =  (c  i))  \mvee{}  (dim(f  i)  =  (dim(c  i)  -  1)))
9.  i  :  \mBbbN{}k
10.  dim(f  i)  =  (dim(c  i)  -  1)
11.  j  :  \mBbbN{}k
12.  dim(f  j)  =  (dim(c  j)  -  1)
13.  \mneg{}(j  =  i)
14.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
            \mSigma{}(f[x]  |  x  <  n)  =  (f[i]  +  \mSigma{}(if  (x  =\msubz{}  i)  then  0  else  f[x]  fi    |  x  <  n))  supposing  i  <  n
15.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
            \mSigma{}(f[x]  |  x  <  n)  =  (f[j]  +  \mSigma{}(if  (x  =\msubz{}  j)  then  0  else  f[x]  fi    |  x  <  n))  supposing  j  <  n
\mvdash{}  dim(f  i)
+  dim(f  j)
+  \mSigma{}(if  (i1  =\msubz{}  j)  then  0
    if  (i1  =\msubz{}  i)  then  0
    else  dim(f  i1)
    fi    |  i1  <  k)  <  (dim(c  i)
+  dim(c  j)
+  \mSigma{}(if  (i1  =\msubz{}  j)  then  0
    if  (i1  =\msubz{}  i)  then  0
    else  dim(c  i1)
    fi    |  i1  <  k))  -  1


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}\mSigma{}(if  (i1  =\msubz{}  j)  then  0
                    if  (i1  =\msubz{}  i)  then  0
                    else  dim(f  i1)
                    fi    |  i1  <  k)  \mleq{}  \mSigma{}(if  (i1  =\msubz{}  j)  then  0
                    if  (i1  =\msubz{}  i)  then  0
                    else  dim(c  i1)
                    fi    |  i1  <  k)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  Auto
  )
  THEN  BLemma  `sum\_le`
  THEN  Auto)

---

Home Index