---

Step * 1 of Lemma length-rat-complex-boundary-even


1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. m : ℤ
5. 0 < m
6. ∀K:n-dim-complex. (||K|| < m - 1 ⇒ (↑isEven(||∂(K)||)))
7. K : n-dim-complex
8. ||K|| < m
9. 0 ≤ ||K||
⊢ ↑isEven(||∂(K)||)
BY
{ ((InstLemma `rat-complex-boundary-remove1` [⌜k⌝;⌜n⌝;⌜K⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ∀c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ⇒ (↑isEven(||∂(rat-cube-sub-complex(λa.(¬brceq(k;a;c));K))||))) BY
               (Intros
                THEN BackThruSomeHyp
                THEN (Assert ||rat-cube-sub-complex(λa.(¬brceq(k;a;c));K)|| < ||K|| BY
                            (Unfold `rat-cube-sub-complex` 0
                             THEN BLemma `filter-length-less`
                             THEN Auto
                             THEN (D 0 With ⌜c⌝  THEN Auto)
                             THEN (RW  assert_pushdownC 0 THENA Auto)
                             THEN RWO "assert-rceq" 0
                             THEN Auto))
                THEN Auto))
   THEN (Assert K ∈ n-dim-complex BY
               Auto)
   THEN RepeatFor 2 (DVar `K')
   THEN Try ((RepeatFor 2 ((InstHyp [⌜u⌝] (-3)⋅ THENA Auto))
              THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
              THEN (Assert dim(u) = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ BY
                          (Auto THEN (D -6 With ⌜0⌝  THENA Auto) THEN Reduce -1 THEN Auto))
              THEN MoveToConcl (-1)
              THEN (GenConclTerm ⌜∂(rat-cube-sub-complex(λa.(¬brceq(k;a;u));[u / v]))⌝⋅ THENA Auto)
              THEN (GenConclTerm ⌜∂([u / v])⌝⋅ THENA Auto)
              THEN RepeatFor 2 ((Thin (-1) THEN MoveToConcl (-1)))
              THEN (GenConcl ⌜(n - 1) = j ∈ ℕ⌝⋅ THENA Auto)
              THEN All Thin))
   THEN Auto) }

1
1. k : ℕ
2. u : ℚCube(k)
3. j : ℕ
4. v1 : j-dim-complex
5. v2 : j-dim-complex
6. dim(u) = (j + 1) ∈ ℤ
7. ∀f:ℚCube(k). ((f ∈ v1) ⇐⇒ ((f ∈ v2) ∧ (¬f ≤ u)) ∨ ((¬(f ∈ v2)) ∧ f ≤ u ∧ (dim(f) = (dim(u) - 1) ∈ ℤ)))
8. ↑isEven(||v1||)
⊢ ↑isEven(||v2||)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  \mneg{}(n  =  0)
4.  m  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  m
6.  \mforall{}K:n-dim-complex.  (||K||  <  m  -  1  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isEven(||\mpartial{}(K)||)))
7.  K  :  n-dim-complex
8.  ||K||  <  m
9.  0  \mleq{}  ||K||
\mvdash{}  \muparrow{}isEven(||\mpartial{}(K)||)


By

---

Latex:
((InstLemma  `rat-complex-boundary-remove1`  [\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mforall{}c:\mBbbQ{}Cube(k)
                                ((c  \mmember{}  K)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isEven(||\mpartial{}(rat-cube-sub-complex(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}rceq(k;a;c));K))||)))  BY
                          (Intros
                            THEN  BackThruSomeHyp
                            THEN  (Assert  ||rat-cube-sub-complex(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}rceq(k;a;c));K)||  <  ||K||  BY
                                                    (Unfold  `rat-cube-sub-complex`  0
                                                      THEN  BLemma  `filter-length-less`
                                                      THEN  Auto
                                                      THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}    THEN  Auto)
                                                      THEN  (RW    assert\_pushdownC  0  THENA  Auto)
                                                      THEN  RWO  "assert-rceq"  0
                                                      THEN  Auto))
                            THEN  Auto))
  THEN  (Assert  K  \mmember{}  n-dim-complex  BY
                          Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `K')
  THEN  Try  ((RepeatFor  2  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}u\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto))
                        THEN  RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
                        THEN  (Assert  dim(u)  =  ((n  -  1)  +  1)  BY
                                                (Auto  THEN  (D  -6  With  \mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  Reduce  -1  THEN  Auto))
                        THEN  MoveToConcl  (-1)
                        THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}\mpartial{}(rat-cube-sub-complex(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}rceq(k;a;u));[u  /  v]))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                        THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}\mpartial{}([u  /  v])\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                        THEN  RepeatFor  2  ((Thin  (-1)  THEN  MoveToConcl  (-1)))
                        THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(n  -  1)  =  j\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                        THEN  All  Thin))
  THEN  Auto)

---

Home Index