---

Step * 2 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma rat-complex-boundary-boundary


1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. 2 ≤ n
5. ∀[L:ℚCube(k) List]. L ~ [] supposing ∀x:ℚCube(k). (¬(x ∈ L))
6. x : ℚCube(k)
7. ↑isOdd(||filter(λc.is-rat-cube-face(k;x;c);∂(K))||)
8. dim(x) = (n - 1 - 1) ∈ ℤ
9. Σ(||filter(λv.is-rat-cube-face(k;v;t);filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K)))|| | t ∈ K)
= (Σ(||filter(λt.is-rat-cube-face(k;s;t);K)|| | s ∈ filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);∂(K)))
  + Σ(||filter(λt.is-rat-cube-face(k;s;t);K)|| | s ∈ filter(λs.(¬bin-complex-boundary(k;s;K));
                                                            filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K)))))
∈ ℤ
10. t : ℚCube(k)
11. (t ∈ K)
⊢ ↑isEven(||filter(λt1.(is-rat-cube-face(k;x;t1) ∧b is-rat-cube-face(k;t1;t));face-complex(k;K))||)
BY
{ ((GenConclTerm ⌜filter(λt1.(is-rat-cube-face(k;x;t1) ∧b is-rat-cube-face(k;t1;t));face-complex(k;K))⌝⋅ THENA Auto)
   THEN D -2
   ) }

1
1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. 2 ≤ n
5. ∀[L:ℚCube(k) List]. L ~ [] supposing ∀x:ℚCube(k). (¬(x ∈ L))
6. x : ℚCube(k)
7. ↑isOdd(||filter(λc.is-rat-cube-face(k;x;c);∂(K))||)
8. dim(x) = (n - 1 - 1) ∈ ℤ
9. Σ(||filter(λv.is-rat-cube-face(k;v;t);filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K)))|| | t ∈ K)
= (Σ(||filter(λt.is-rat-cube-face(k;s;t);K)|| | s ∈ filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);∂(K)))
  + Σ(||filter(λt.is-rat-cube-face(k;s;t);K)|| | s ∈ filter(λs.(¬bin-complex-boundary(k;s;K));
                                                            filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K)))))
∈ ℤ
10. t : ℚCube(k)
11. (t ∈ K)
12. filter(λt1.(is-rat-cube-face(k;x;t1) ∧b is-rat-cube-face(k;t1;t));face-complex(k;K)) = [] ∈ (ℚCube(k) List)
⊢ ↑isEven(||[]||)

2
1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. 2 ≤ n
5. ∀[L:ℚCube(k) List]. L ~ [] supposing ∀x:ℚCube(k). (¬(x ∈ L))
6. x : ℚCube(k)
7. ↑isOdd(||filter(λc.is-rat-cube-face(k;x;c);∂(K))||)
8. dim(x) = (n - 1 - 1) ∈ ℤ
9. Σ(||filter(λv.is-rat-cube-face(k;v;t);filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K)))|| | t ∈ K)
= (Σ(||filter(λt.is-rat-cube-face(k;s;t);K)|| | s ∈ filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);∂(K)))
  + Σ(||filter(λt.is-rat-cube-face(k;s;t);K)|| | s ∈ filter(λs.(¬bin-complex-boundary(k;s;K));
                                                            filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K)))))
∈ ℤ
10. t : ℚCube(k)
11. (t ∈ K)
12. u : ℚCube(k)
13. v : ℚCube(k) List
14. filter(λt1.(is-rat-cube-face(k;x;t1) ∧b is-rat-cube-face(k;t1;t));face-complex(k;K)) = [u / v] ∈ (ℚCube(k) List)
⊢ ↑isEven(||[u / v]||)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  K  :  n-dim-complex
4.  2  \mleq{}  n
5.  \mforall{}[L:\mBbbQ{}Cube(k)  List].  L  \msim{}  []  supposing  \mforall{}x:\mBbbQ{}Cube(k).  (\mneg{}(x  \mmember{}  L))
6.  x  :  \mBbbQ{}Cube(k)
7.  \muparrow{}isOdd(||filter(\mlambda{}c.is-rat-cube-face(k;x;c);\mpartial{}(K))||)
8.  dim(x)  =  (n  -  1  -  1)
9.  \mSigma{}(||filter(\mlambda{}v.is-rat-cube-face(k;v;t);filter(\mlambda{}v.is-rat-cube-face(k;x;v);
                                                                                                face-complex(k;K)))||  |  t  \mmember{}  K)
=  (\mSigma{}(||filter(\mlambda{}t.is-rat-cube-face(k;s;t);K)||  |  s  \mmember{}  filter(\mlambda{}v.is-rat-cube-face(k;x;v);\mpartial{}(K)))
    +  \mSigma{}(||filter(\mlambda{}t.is-rat-cube-face(k;s;t);K)||  |  s  \mmember{}  filter(\mlambda{}s.(\mneg{}\msubb{}in-complex-boundary(k;s;K));
                                                                                                                        filter(\mlambda{}v.is-rat-cube-face(k;x;v);
                                                                                                                                      face-complex(k;K)))))
10.  t  :  \mBbbQ{}Cube(k)
11.  (t  \mmember{}  K)
\mvdash{}  \muparrow{}isEven(||filter(\mlambda{}t1.(is-rat-cube-face(k;x;t1)  \mwedge{}\msubb{}  is-rat-cube-face(k;t1;t));face-complex(k;K))||)


By

---

Latex:
((GenConclTerm  \mkleeneopen{}filter(\mlambda{}t1.(is-rat-cube-face(k;x;t1)  \mwedge{}\msubb{}  is-rat-cube-face(k;t1;t));
                                              face-complex(k;K))\mkleeneclose{}\mcdot{}
    THENA  Auto
    )
  THEN  D  -2
  )

---

Home Index