---

Step * 1 of Lemma presheaf-subset-and


1. [C] : SmallCategory
2. [F] : presheaf{j:l}(C)
⊢ ∀[P,Q:I:cat-ob(C) ⟶ (F I) ⟶ ℙ].
    ext-equal-presheaves(C;F|I,rho.P[I;rho]|I,rho.Q[I;rho];F|I,rho.P[I;rho] ∧ Q[I;rho]) 
    supposing stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho]) ∧ stable-element-predicate(C;F;I,rho.Q[I;rho])
BY
{ (Auto THEN D 0 THEN Intros THEN RepUR ``presheaf-subset mk-presheaf`` 0) }

1
1. C : SmallCategory
2. F : presheaf{j:l}(C)
3. P : I:cat-ob(C) ⟶ (F I) ⟶ ℙ
4. Q : I:cat-ob(C) ⟶ (F I) ⟶ ℙ
5. stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
6. stable-element-predicate(C;F;I,rho.Q[I;rho])
7. x : cat-ob(C)
⊢ {rho:{rho:F x| P[x;rho]} | Q[x;rho]}  ≡ {rho:F x| P[x;rho] ∧ Q[x;rho]} 

2
1. C : SmallCategory
2. F : presheaf{j:l}(C)
3. P : I:cat-ob(C) ⟶ (F I) ⟶ ℙ
4. Q : I:cat-ob(C) ⟶ (F I) ⟶ ℙ
5. stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
6. stable-element-predicate(C;F;I,rho.Q[I;rho])
7. x : cat-ob(C)
8. y : cat-ob(C)
9. f : cat-arrow(C) y x
⊢ (λrho.(F x y f rho)) = (λrho.(F x y f rho)) ∈ ({rho:{rho:F x| P[x;rho]} | Q[x;rho]}  ⟶ {rho:{rho:F y| P[y;rho]} | Q[y\000C;rho]} )

---

Latex:

---

Latex:

1.  [C]  :  SmallCategory
2.  [F]  :  presheaf\{j:l\}(C)
\mvdash{}  \mforall{}[P,Q:I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  (F  I)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
        ext-equal-presheaves(C;F|I,rho.P[I;rho]|I,rho.Q[I;rho];F|I,rho.P[I;rho]  \mwedge{}  Q[I;rho]) 
        supposing  stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
        \mwedge{}  stable-element-predicate(C;F;I,rho.Q[I;rho])


By

---

Latex:
(Auto  THEN  D  0  THEN  Intros  THEN  RepUR  ``presheaf-subset  mk-presheaf``  0)

---

Home Index