---

Step * 3 1 1 1 1 1 of Lemma member-bs_tree_delete


1. E : Type
2. cmp : comparison(E)
3. x : E
4. left : bs_tree(E)
5. value : E
6. right : bs_tree(E)
7. bs_tree_ordered(E;cmp;left)
8. bs_tree_ordered(E;cmp;right)
9. ∀x:E. (x ∈ left ⇒ 0 < cmp x value)
10. ∀x:E. (x ∈ right ⇒ 0 < cmp value x)
11. z : E
12. bs_tree_max(left;value) = bs_tree_max(left;value) ∈ (E × ordered_bs_tree(E;cmp))
13. let m,t = bs_tree_max(left;value) 
    in (∀x:E. (x ∈ left ⇒ (x ∈ t ∨ (x = m ∈ E))))
       ∧ ((¬↑bst_null?(left)) ⇒ m ∈ left)
       ∧ (∀x:E. (x ∈ t ⇒ (x ∈ left ∧ 0 < cmp x m)))
14. ∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;right) ⇐⇒ z ∈ right ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)))
15. ∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;left) ⇐⇒ z ∈ left ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)))
16. 0 < cmp x value
17. z ∈ right
⊢ ¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)
BY
{ ((InstLemma `strict-comparison-trans` [⌜E⌝;⌜cmp⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜x⌝  THENA Auto)
   THEN InstHyp [⌜value⌝;⌜z⌝] (-1)⋅
   THEN Auto
   THEN RWO "comparison-anti" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  E  :  Type
2.  cmp  :  comparison(E)
3.  x  :  E
4.  left  :  bs\_tree(E)
5.  value  :  E
6.  right  :  bs\_tree(E)
7.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;left)
8.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;right)
9.  \mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  left  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  x  value)
10.  \mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  right  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  value  x)
11.  z  :  E
12.  bs\_tree\_max(left;value)  =  bs\_tree\_max(left;value)
13.  let  m,t  =  bs\_tree\_max(left;value) 
        in  (\mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  left  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  t  \mvee{}  (x  =  m))))
              \mwedge{}  ((\mneg{}\muparrow{}bst\_null?(left))  {}\mRightarrow{}  m  \mmember{}  left)
              \mwedge{}  (\mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  t  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  left  \mwedge{}  0  <  cmp  x  m)))
14.  \mforall{}z:E.  (z  \mmember{}  bs\_tree\_delete(cmp;x;right)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  z  \mmember{}  right  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  z  x)  =  0)))
15.  \mforall{}z:E.  (z  \mmember{}  bs\_tree\_delete(cmp;x;left)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  z  \mmember{}  left  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  z  x)  =  0)))
16.  0  <  cmp  x  value
17.  z  \mmember{}  right
\mvdash{}  \mneg{}((cmp  z  x)  =  0)


By

---

Latex:
((InstLemma  `strict-comparison-trans`  [\mkleeneopen{}E\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}cmp\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}value\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  RWO  "comparison-anti"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index