---

Step * 3 1 1 1 2 of Lemma member-bs_tree_delete


1. E : Type
2. cmp : comparison(E)
3. x : E
4. left : bs_tree(E)
5. value : E
6. ¬0 < cmp x value
7. right : bs_tree(E)
8. bs_tree_ordered(E;cmp;left)
9. bs_tree_ordered(E;cmp;right)
10. ∀x:E. (x ∈ left ⇒ 0 < cmp x value)
11. ∀x:E. (x ∈ right ⇒ 0 < cmp value x)
12. z : E
13. bs_tree_max(left;value) = bs_tree_max(left;value) ∈ (E × ordered_bs_tree(E;cmp))
14. let m,t = bs_tree_max(left;value) 
    in (∀x:E. (x ∈ left ⇒ (x ∈ t ∨ (x = m ∈ E))))
       ∧ ((¬↑bst_null?(left)) ⇒ m ∈ left)
       ∧ (∀x:E. (x ∈ t ⇒ (x ∈ left ∧ 0 < cmp x m)))
15. ∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;right) ⇐⇒ z ∈ right ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)))
16. ∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;left) ⇐⇒ z ∈ left ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)))
17. 0 < cmp value x
⊢ z ∈ bst_node(left;value;bs_tree_delete(cmp;x;right)) ⇐⇒ z ∈ bst_node(left;value;right) ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ))
BY
{ ((RepUR ``member_bs_tree`` 0 THEN Fold `member_bs_tree` 0)
   THEN (RWO  "-2 -3" 0 THENA Auto)
   THEN Auto
   THEN SplitOrHyps
   THEN Auto
   THEN Try ((Eliminate ⌜z⌝⋅ THEN Auto THEN RWO "comparison-anti" 0 THEN Auto))) }

1
1. E : Type
2. cmp : comparison(E)
3. x : E
4. left : bs_tree(E)
5. value : E
6. ¬0 < cmp x value
7. right : bs_tree(E)
8. bs_tree_ordered(E;cmp;left)
9. bs_tree_ordered(E;cmp;right)
10. ∀x:E. (x ∈ left ⇒ 0 < cmp x value)
11. ∀x:E. (x ∈ right ⇒ 0 < cmp value x)
12. z : E
13. bs_tree_max(left;value) = bs_tree_max(left;value) ∈ (E × ordered_bs_tree(E;cmp))
14. let m,t = bs_tree_max(left;value) 
    in (∀x:E. (x ∈ left ⇒ (x ∈ t ∨ (x = m ∈ E))))
       ∧ ((¬↑bst_null?(left)) ⇒ m ∈ left)
       ∧ (∀x:E. (x ∈ t ⇒ (x ∈ left ∧ 0 < cmp x m)))
15. ∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;right) ⇐⇒ z ∈ right ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)))
16. ∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;left) ⇐⇒ z ∈ left ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)))
17. 0 < cmp value x
18. z ∈ left
⊢ ¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  E  :  Type
2.  cmp  :  comparison(E)
3.  x  :  E
4.  left  :  bs\_tree(E)
5.  value  :  E
6.  \mneg{}0  <  cmp  x  value
7.  right  :  bs\_tree(E)
8.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;left)
9.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;right)
10.  \mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  left  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  x  value)
11.  \mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  right  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  value  x)
12.  z  :  E
13.  bs\_tree\_max(left;value)  =  bs\_tree\_max(left;value)
14.  let  m,t  =  bs\_tree\_max(left;value) 
        in  (\mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  left  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  t  \mvee{}  (x  =  m))))
              \mwedge{}  ((\mneg{}\muparrow{}bst\_null?(left))  {}\mRightarrow{}  m  \mmember{}  left)
              \mwedge{}  (\mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  t  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  left  \mwedge{}  0  <  cmp  x  m)))
15.  \mforall{}z:E.  (z  \mmember{}  bs\_tree\_delete(cmp;x;right)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  z  \mmember{}  right  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  z  x)  =  0)))
16.  \mforall{}z:E.  (z  \mmember{}  bs\_tree\_delete(cmp;x;left)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  z  \mmember{}  left  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  z  x)  =  0)))
17.  0  <  cmp  value  x
\mvdash{}  z  \mmember{}  bst\_node(left;value;bs\_tree\_delete(cmp;x;right))
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  z  \mmember{}  bst\_node(left;value;right)  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  z  x)  =  0))


By

---

Latex:
((RepUR  ``member\_bs\_tree``  0  THEN  Fold  `member\_bs\_tree`  0)
  THEN  (RWO    "-2  -3"  0  THENA  Auto)
  THEN  Auto
  THEN  SplitOrHyps
  THEN  Auto
  THEN  Try  ((Eliminate  \mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  RWO  "comparison-anti"  0  THEN  Auto)))

---

Home Index