---

Step * 3 1 1 1 3 3 of Lemma member-bs_tree_delete


1. E : Type
2. cmp : comparison(E)
3. x : E
4. left : bs_tree(E)
5. value : E
6. ¬0 < cmp value x
7. ¬0 < cmp x value
8. right : bs_tree(E)
9. bs_tree_ordered(E;cmp;left)
10. bs_tree_ordered(E;cmp;right)
11. ∀x:E. (x ∈ left ⇒ 0 < cmp x value)
12. ∀x:E. (x ∈ right ⇒ 0 < cmp value x)
13. z : E
14. bs_tree_max(left;value) = bs_tree_max(left;value) ∈ (E × ordered_bs_tree(E;cmp))
15. let m,t = bs_tree_max(left;value) 
    in (∀x:E. (x ∈ left ⇒ (x ∈ t ∨ (x = m ∈ E))))
       ∧ ((¬↑bst_null?(left)) ⇒ m ∈ left)
       ∧ (∀x:E. (x ∈ t ⇒ (x ∈ left ∧ 0 < cmp x m)))
16. ∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;right) ⇐⇒ z ∈ right ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)))
17. ∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;left) ⇐⇒ z ∈ left ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)))
18. ↑bst_null?(left)
19. (value = z ∈ E) ∨ False ∨ z ∈ right
20. ¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)
⊢ z ∈ right
BY
{ (SplitOrHyps THEN Auto) }

1
1. E : Type
2. cmp : comparison(E)
3. x : E
4. left : bs_tree(E)
5. value : E
6. ¬0 < cmp value x
7. ¬0 < cmp x value
8. right : bs_tree(E)
9. bs_tree_ordered(E;cmp;left)
10. bs_tree_ordered(E;cmp;right)
11. ∀x:E. (x ∈ left ⇒ 0 < cmp x value)
12. ∀x:E. (x ∈ right ⇒ 0 < cmp value x)
13. z : E
14. bs_tree_max(left;value) = bs_tree_max(left;value) ∈ (E × ordered_bs_tree(E;cmp))
15. let m,t = bs_tree_max(left;value) 
    in (∀x:E. (x ∈ left ⇒ (x ∈ t ∨ (x = m ∈ E))))
       ∧ ((¬↑bst_null?(left)) ⇒ m ∈ left)
       ∧ (∀x:E. (x ∈ t ⇒ (x ∈ left ∧ 0 < cmp x m)))
16. ∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;right) ⇐⇒ z ∈ right ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)))
17. ∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;left) ⇐⇒ z ∈ left ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)))
18. ↑bst_null?(left)
19. value = z ∈ E
20. ¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ)
⊢ z ∈ right

---

Latex:

---

Latex:

1.  E  :  Type
2.  cmp  :  comparison(E)
3.  x  :  E
4.  left  :  bs\_tree(E)
5.  value  :  E
6.  \mneg{}0  <  cmp  value  x
7.  \mneg{}0  <  cmp  x  value
8.  right  :  bs\_tree(E)
9.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;left)
10.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;right)
11.  \mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  left  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  x  value)
12.  \mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  right  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  value  x)
13.  z  :  E
14.  bs\_tree\_max(left;value)  =  bs\_tree\_max(left;value)
15.  let  m,t  =  bs\_tree\_max(left;value) 
        in  (\mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  left  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  t  \mvee{}  (x  =  m))))
              \mwedge{}  ((\mneg{}\muparrow{}bst\_null?(left))  {}\mRightarrow{}  m  \mmember{}  left)
              \mwedge{}  (\mforall{}x:E.  (x  \mmember{}  t  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  left  \mwedge{}  0  <  cmp  x  m)))
16.  \mforall{}z:E.  (z  \mmember{}  bs\_tree\_delete(cmp;x;right)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  z  \mmember{}  right  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  z  x)  =  0)))
17.  \mforall{}z:E.  (z  \mmember{}  bs\_tree\_delete(cmp;x;left)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  z  \mmember{}  left  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  z  x)  =  0)))
18.  \muparrow{}bst\_null?(left)
19.  (value  =  z)  \mvee{}  False  \mvee{}  z  \mmember{}  right
20.  \mneg{}((cmp  z  x)  =  0)
\mvdash{}  z  \mmember{}  right


By

---

Latex:
(SplitOrHyps  THEN  Auto)

---

Home Index