---

Step * 1 2 2 of Lemma free-vs-map-into-subspace

.....set predicate..... 
1. K : CRng
2. S : Type
3. v : VectorSpace(K)
4. f : Point(free-vs(K;S)) ⟶ Point(v)
5. (∀u,v@0:Point(free-vs(K;S)).  ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v)))
∧ (∀a:|K|. ∀u:Point(free-vs(K;S)).  ((f a * u) = a * f u ∈ Point(v)))
6. P : Point(v) ⟶ ℙ
7. vs-subspace(K;v;x.P[x])
8. ∀s:S. (↓P[f <s>])
9. ∀p:Point(free-vs(K;S)). (f p ∈ Point((x:v | P[x])))
⊢ (∀u,v@0:Point(free-vs(K;S)).  ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point((x:v | P[x]))))
∧ (∀a:|K|. ∀u:Point(free-vs(K;S)).  ((f a * u) = a * f u ∈ Point((x:v | P[x]))))
BY
{ (RepeatFor 2 (ParallelOp -5) THEN ParallelLast THEN RepUR ``vs-point sub-vs mk-vs`` 0 THEN Fold `vs-point` 0) }

1
1. K : CRng
2. S : Type
3. v : VectorSpace(K)
4. f : Point(free-vs(K;S)) ⟶ Point(v)
5. ∀a:|K|. ∀u:Point(free-vs(K;S)).  ((f a * u) = a * f u ∈ Point(v))
6. ∀u,v@0:Point(free-vs(K;S)).  ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v))
7. P : Point(v) ⟶ ℙ
8. vs-subspace(K;v;x.P[x])
9. ∀s:S. (↓P[f <s>])
10. ∀p:Point(free-vs(K;S)). (f p ∈ Point((x:v | P[x])))
11. u : Point(free-vs(K;S))
12. ∀v@0:Point(free-vs(K;S)). ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v))
13. v@0 : Point(free-vs(K;S))
14. (f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v)
⊢ (f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ {x:Point(v)| P[x]} 

2
1. K : CRng
2. S : Type
3. v : VectorSpace(K)
4. f : Point(free-vs(K;S)) ⟶ Point(v)
5. ∀u,v@0:Point(free-vs(K;S)).  ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v))
6. ∀a:|K|. ∀u:Point(free-vs(K;S)).  ((f a * u) = a * f u ∈ Point(v))
7. P : Point(v) ⟶ ℙ
8. vs-subspace(K;v;x.P[x])
9. ∀s:S. (↓P[f <s>])
10. ∀p:Point(free-vs(K;S)). (f p ∈ Point((x:v | P[x])))
11. a : |K|
12. ∀u:Point(free-vs(K;S)). ((f a * u) = a * f u ∈ Point(v))
13. u : Point(free-vs(K;S))
14. (f a * u) = a * f u ∈ Point(v)
⊢ (f a * u) = a * f u ∈ {x:Point(v)| P[x]} 

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  K  :  CRng
2.  S  :  Type
3.  v  :  VectorSpace(K)
4.  f  :  Point(free-vs(K;S))  {}\mrightarrow{}  Point(v)
5.  (\mforall{}u,v@0:Point(free-vs(K;S)).    ((f  u  +  v@0)  =  f  u  +  f  v@0))
\mwedge{}  (\mforall{}a:|K|.  \mforall{}u:Point(free-vs(K;S)).    ((f  a  *  u)  =  a  *  f  u))
6.  P  :  Point(v)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  vs-subspace(K;v;x.P[x])
8.  \mforall{}s:S.  (\mdownarrow{}P[f  <s>])
9.  \mforall{}p:Point(free-vs(K;S)).  (f  p  \mmember{}  Point((x:v  |  P[x])))
\mvdash{}  (\mforall{}u,v@0:Point(free-vs(K;S)).    ((f  u  +  v@0)  =  f  u  +  f  v@0))
\mwedge{}  (\mforall{}a:|K|.  \mforall{}u:Point(free-vs(K;S)).    ((f  a  *  u)  =  a  *  f  u))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (ParallelOp  -5)
  THEN  ParallelLast
  THEN  RepUR  ``vs-point  sub-vs  mk-vs``  0
  THEN  Fold  `vs-point`  0)

---

Home Index