---

Step * 1 2 2 1 of Lemma free-vs-map-into-subspace


1. K : CRng
2. S : Type
3. v : VectorSpace(K)
4. f : Point(free-vs(K;S)) ⟶ Point(v)
5. ∀a:|K|. ∀u:Point(free-vs(K;S)).  ((f a * u) = a * f u ∈ Point(v))
6. ∀u,v@0:Point(free-vs(K;S)).  ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v))
7. P : Point(v) ⟶ ℙ
8. vs-subspace(K;v;x.P[x])
9. ∀s:S. (↓P[f <s>])
10. ∀p:Point(free-vs(K;S)). (f p ∈ Point((x:v | P[x])))
11. u : Point(free-vs(K;S))
12. ∀v@0:Point(free-vs(K;S)). ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v))
13. v@0 : Point(free-vs(K;S))
14. (f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v)
⊢ (f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ {x:Point(v)| P[x]} 
BY
{ (D -5 With ⌜u + v@0⌝  THENA Auto) }

1
1. K : CRng
2. S : Type
3. v : VectorSpace(K)
4. f : Point(free-vs(K;S)) ⟶ Point(v)
5. ∀a:|K|. ∀u:Point(free-vs(K;S)).  ((f a * u) = a * f u ∈ Point(v))
6. ∀u,v@0:Point(free-vs(K;S)).  ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v))
7. P : Point(v) ⟶ ℙ
8. vs-subspace(K;v;x.P[x])
9. ∀s:S. (↓P[f <s>])
10. u : Point(free-vs(K;S))
11. ∀v@0:Point(free-vs(K;S)). ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v))
12. v@0 : Point(free-vs(K;S))
13. (f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v)
14. f u + v@0 ∈ Point((x:v | P[x]))
⊢ (f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ {x:Point(v)| P[x]} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  K  :  CRng
2.  S  :  Type
3.  v  :  VectorSpace(K)
4.  f  :  Point(free-vs(K;S))  {}\mrightarrow{}  Point(v)
5.  \mforall{}a:|K|.  \mforall{}u:Point(free-vs(K;S)).    ((f  a  *  u)  =  a  *  f  u)
6.  \mforall{}u,v@0:Point(free-vs(K;S)).    ((f  u  +  v@0)  =  f  u  +  f  v@0)
7.  P  :  Point(v)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  vs-subspace(K;v;x.P[x])
9.  \mforall{}s:S.  (\mdownarrow{}P[f  <s>])
10.  \mforall{}p:Point(free-vs(K;S)).  (f  p  \mmember{}  Point((x:v  |  P[x])))
11.  u  :  Point(free-vs(K;S))
12.  \mforall{}v@0:Point(free-vs(K;S)).  ((f  u  +  v@0)  =  f  u  +  f  v@0)
13.  v@0  :  Point(free-vs(K;S))
14.  (f  u  +  v@0)  =  f  u  +  f  v@0
\mvdash{}  (f  u  +  v@0)  =  f  u  +  f  v@0


By

---

Latex:
(D  -5  With  \mkleeneopen{}u  +  v@0\mkleeneclose{}    THENA  Auto)

---

Home Index