---

Step * 1 2 2 1 1 of Lemma free-vs-map-into-subspace


1. K : CRng
2. S : Type
3. v : VectorSpace(K)
4. f : Point(free-vs(K;S)) ⟶ Point(v)
5. ∀a:|K|. ∀u:Point(free-vs(K;S)).  ((f a * u) = a * f u ∈ Point(v))
6. ∀u,v@0:Point(free-vs(K;S)).  ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v))
7. P : Point(v) ⟶ ℙ
8. vs-subspace(K;v;x.P[x])
9. ∀s:S. (↓P[f <s>])
10. u : Point(free-vs(K;S))
11. ∀v@0:Point(free-vs(K;S)). ((f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v))
12. v@0 : Point(free-vs(K;S))
13. (f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ Point(v)
14. f u + v@0 ∈ Point((x:v | P[x]))
⊢ (f u + v@0) = f u + f v@0 ∈ {x:Point(v)| P[x]} 
BY
{ (RepUR ``vs-point sub-vs mk-vs`` -1
   THEN Fold  `vs-point` (-1)
   THEN RepUR ``vs-point sub-vs mk-vs vs-add vs-mul`` 0
   THEN Folds  ``vs-point vs-add vs-mul`` 0
   THEN (MemTypeHD (-1) THENA Auto)
   THEN EqTypeCD
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  K  :  CRng
2.  S  :  Type
3.  v  :  VectorSpace(K)
4.  f  :  Point(free-vs(K;S))  {}\mrightarrow{}  Point(v)
5.  \mforall{}a:|K|.  \mforall{}u:Point(free-vs(K;S)).    ((f  a  *  u)  =  a  *  f  u)
6.  \mforall{}u,v@0:Point(free-vs(K;S)).    ((f  u  +  v@0)  =  f  u  +  f  v@0)
7.  P  :  Point(v)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  vs-subspace(K;v;x.P[x])
9.  \mforall{}s:S.  (\mdownarrow{}P[f  <s>])
10.  u  :  Point(free-vs(K;S))
11.  \mforall{}v@0:Point(free-vs(K;S)).  ((f  u  +  v@0)  =  f  u  +  f  v@0)
12.  v@0  :  Point(free-vs(K;S))
13.  (f  u  +  v@0)  =  f  u  +  f  v@0
14.  f  u  +  v@0  \mmember{}  Point((x:v  |  P[x]))
\mvdash{}  (f  u  +  v@0)  =  f  u  +  f  v@0


By

---

Latex:
(RepUR  ``vs-point  sub-vs  mk-vs``  -1
  THEN  Fold    `vs-point`  (-1)
  THEN  RepUR  ``vs-point  sub-vs  mk-vs  vs-add  vs-mul``  0
  THEN  Folds    ``vs-point  vs-add  vs-mul``  0
  THEN  (MemTypeHD  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  EqTypeCD
  THEN  Auto)

---

Home Index