---

Step * 1 1 1 of Lemma Cauchy-Schwarz-equality


1. n : ℕ
2. x : ℝ^n
3. y : ℝ^n
4. r0 < ||y||
5. |x⋅y| = (||x|| * ||y||)
6. r0 < ||y||^2
7. ∀i,j:ℕn.  (((x j) * (y i)) = ((x i) * (y j)))
8. i : ℕn
9. j : ℕn
10. r0 ≠ y j
11. (x[j] * y[i]) = (x[i] * y[j])
⊢ (x i) = ((x⋅y/||y||^2) * (y i))
BY
{ ((Assert y j ≠ r0 BY
          (BLemma `rneq-symmetry` THEN Auto))
   THEN All (RepUR ``so_apply``)
   THEN (Assert (x i) = ((x j/y j) * (y i)) BY
               (nRMul ⌜y j⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN BLemma `rmul_functionality`
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ
2. x : ℝ^n
3. y : ℝ^n
4. r0 < ||y||
5. |x⋅y| = (||x|| * ||y||)
6. r0 < ||y||^2
7. ∀i,j:ℕn.  (((x j) * (y i)) = ((x i) * (y j)))
8. i : ℕn
9. j : ℕn
10. r0 ≠ y j
11. ((x j) * (y i)) = ((x i) * (y j))
12. y j ≠ r0
13. (x i) = ((x j/y j) * (y i))
⊢ (x j/y j) = (x⋅y/||y||^2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  y  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  r0  <  ||y||
5.  |x\mcdot{}y|  =  (||x||  *  ||y||)
6.  r0  <  ||y||\^{}2
7.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n.    (((x  j)  *  (y  i))  =  ((x  i)  *  (y  j)))
8.  i  :  \mBbbN{}n
9.  j  :  \mBbbN{}n
10.  r0  \mneq{}  y  j
11.  (x[j]  *  y[i])  =  (x[i]  *  y[j])
\mvdash{}  (x  i)  =  ((x\mcdot{}y/||y||\^{}2)  *  (y  i))


By

---

Latex:
((Assert  y  j  \mneq{}  r0  BY
                (BLemma  `rneq-symmetry`  THEN  Auto))
  THEN  All  (RepUR  ``so\_apply``)
  THEN  (Assert  (x  i)  =  ((x  j/y  j)  *  (y  i))  BY
                          (nRMul  \mkleeneopen{}y  j\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  BLemma  `rmul\_functionality`
  THEN  Auto)

---

Home Index