---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma approx-arg_wf


1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
9. n : ℕ+
10. m : ℕ+
11. v : ℝ
12. (x within 1/n) = v ∈ ℝ
13. v1 : ℝ
14. (x within 1/m) = v1 ∈ ℝ
15. |f[v] - f[v1]| ≤ (r(B) * |v - v1|)
16. |x - v| ≤ (r1/r(n))
17. |x - v1| ≤ (r1/r(m))
18. |(r(2 * n * m) * (f v)) - r(m * (f v n))| ≤ r(2 * m)
19. (r(2 * m) * |(f v1) + -((r(f v1 m)/r(2 * m)))|) ≤ r(2)
⊢ |(r(2 * n * m) * (f v1)) - r(n * (f v1 m))| ≤ r(2 * n)
BY
{ (SwapVars `n' `m'
   THEN SwapVars `v' `v1'
   THEN (Assert (r(2 * n) * |(f v) + -((r(f v n)/r(2 * n)))|) = |r(2 * n) * ((f v) + -((r(f v n)/r(2 * n))))| BY
               ((RWO "rabs-rmul" 0 THEN Auto)
                THEN BLemma `rmul_functionality`
                THEN Auto
                THEN RWO "rabs-of-nonneg" 0
                THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" (-2) THENA Auto)
   THEN (nRNorm (-2) THENA Auto)) }

1
1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
9. m : ℕ+
10. n : ℕ+
11. v1 : ℝ
12. (x within 1/m) = v1 ∈ ℝ
13. v : ℝ
14. (x within 1/n) = v ∈ ℝ
15. |f[v1] - f[v]| ≤ (r(B) * |v1 - v|)
16. |x - v1| ≤ (r1/r(m))
17. |x - v| ≤ (r1/r(n))
18. |(r(2 * m * n) * (f v1)) - r(n * (f v1 m))| ≤ r(2 * n)
19. |r(-(f v n)) + (r(2) * (f v) * r(n))| ≤ r(2)
20. (r(2 * n) * |(f v) + -((r(f v n)/r(2 * n)))|) = |r(2 * n) * ((f v) + -((r(f v n)/r(2 * n))))|
⊢ |(r(2 * m * n) * (f v)) - r(m * (f v n))| ≤ r(2 * m)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  (-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
2.  f'  :  (-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
4.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  (-\minfty{},  \minfty{})
5.  B  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (|f'[x]|  \mleq{}  r(B))
7.  x  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\}  .    (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r(B)  *  |x  -  y|))
9.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  v  :  \mBbbR{}
12.  (x  within  1/n)  =  v
13.  v1  :  \mBbbR{}
14.  (x  within  1/m)  =  v1
15.  |f[v]  -  f[v1]|  \mleq{}  (r(B)  *  |v  -  v1|)
16.  |x  -  v|  \mleq{}  (r1/r(n))
17.  |x  -  v1|  \mleq{}  (r1/r(m))
18.  |(r(2  *  n  *  m)  *  (f  v))  -  r(m  *  (f  v  n))|  \mleq{}  r(2  *  m)
19.  (r(2  *  m)  *  |(f  v1)  +  -((r(f  v1  m)/r(2  *  m)))|)  \mleq{}  r(2)
\mvdash{}  |(r(2  *  n  *  m)  *  (f  v1))  -  r(n  *  (f  v1  m))|  \mleq{}  r(2  *  n)


By

---

Latex:
(SwapVars  `n'  `m'
  THEN  SwapVars  `v'  `v1'
  THEN  (Assert  (r(2  *  n)  *  |(f  v)  +  -((r(f  v  n)/r(2  *  n)))|)
                          =  |r(2  *  n)  *  ((f  v)  +  -((r(f  v  n)/r(2  *  n))))|  BY
                          ((RWO  "rabs-rmul"  0  THEN  Auto)
                            THEN  BLemma  `rmul\_functionality`
                            THEN  Auto
                            THEN  RWO  "rabs-of-nonneg"  0
                            THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (nRNorm  (-2)  THENA  Auto))

---

Home Index