---

Step * 1 2 1 1 1 1 2 of Lemma closures-meet'

.....upcase..... 
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. a : ℕ ⟶ ℝ
12. b : ℕ ⟶ ℝ
13. ∀n:ℕ
      ((P a[n])
      ∧ (Q b[n])
      ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
      ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
      ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
      ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
14. n : ℤ
15. 0 < n
16. r0≤b[n - 1] - a[n - 1]≤(b[0] - a[0]) * c^n - 1
⊢ r0≤b[n] - a[n]≤(b[0] - a[0]) * c^n
BY
{ (((InstHyp [⌜n - 1⌝] (-4))⋅ THENA Auto') THEN Subst' (n - 1) + 1 ~ n -1) }

1
.....equality..... 
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. a : ℕ ⟶ ℝ
12. b : ℕ ⟶ ℝ
13. ∀n:ℕ
      ((P a[n])
      ∧ (Q b[n])
      ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
      ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
      ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
      ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
14. n : ℤ
15. 0 < n
16. r0≤b[n - 1] - a[n - 1]≤(b[0] - a[0]) * c^n - 1
17. (P a[n - 1])
∧ (Q b[n - 1])
∧ (a[n - 1] ≤ a[(n - 1) + 1])
∧ (a[(n - 1) + 1] ≤ b[(n - 1) + 1])
∧ (b[(n - 1) + 1] ≤ b[n - 1])
∧ ((b[(n - 1) + 1] - a[(n - 1) + 1]) ≤ ((b[n - 1] - a[n - 1]) * c))
⊢ (n - 1) + 1 ~ n

2
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. a : ℕ ⟶ ℝ
12. b : ℕ ⟶ ℝ
13. ∀n:ℕ
      ((P a[n])
      ∧ (Q b[n])
      ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
      ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
      ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
      ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
14. n : ℤ
15. 0 < n
16. r0≤b[n - 1] - a[n - 1]≤(b[0] - a[0]) * c^n - 1
17. (P a[n - 1])
∧ (Q b[n - 1])
∧ (a[n - 1] ≤ a[n])
∧ (a[n] ≤ b[n])
∧ (b[n] ≤ b[n - 1])
∧ ((b[n] - a[n]) ≤ ((b[n - 1] - a[n - 1]) * c))
⊢ r0≤b[n] - a[n]≤(b[0] - a[0]) * c^n

---

Latex:

---

Latex:
.....upcase..... 
1.  P  :  Set(\mBbbR{})
2.  Q  :  Set(\mBbbR{})
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  a0  \mmember{}  P
6.  b0  \mmember{}  Q
7.  a0  <  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
12.  b  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
13.  \mforall{}n:\mBbbN{}
            ((P  a[n])
            \mwedge{}  (Q  b[n])
            \mwedge{}  (a[n]  \mleq{}  a[n  +  1])
            \mwedge{}  (a[n  +  1]  \mleq{}  b[n  +  1])
            \mwedge{}  (b[n  +  1]  \mleq{}  b[n])
            \mwedge{}  ((b[n  +  1]  -  a[n  +  1])  \mleq{}  ((b[n]  -  a[n])  *  c)))
14.  n  :  \mBbbZ{}
15.  0  <  n
16.  r0\mleq{}b[n  -  1]  -  a[n  -  1]\mleq{}(b[0]  -  a[0])  *  c\^{}n  -  1
\mvdash{}  r0\mleq{}b[n]  -  a[n]\mleq{}(b[0]  -  a[0])  *  c\^{}n


By

---

Latex:
(((InstHyp  [\mkleeneopen{}n  -  1\mkleeneclose{}]  (-4))\mcdot{}  THENA  Auto')  THEN  Subst'  (n  -  1)  +  1  \msim{}  n  -1)

---

Home Index