---

Step * 1 1 1 1 of Lemma closures-meet


1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. a : ℝ
13. b : ℝ
14. a3 : P a
15. a5 : Q b
16. a6 : a ≤ b
17. a' : ℝ
18. b' : ℝ
19. P a'
20. Q b'
21. a ≤ a'
22. a' ≤ b'
23. b' ≤ b
24. (b' - a') ≤ ((b - a) * c)
⊢ ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b)). let a,b,p = <a, b, a3, a5, a6> in let a',b',p' = abp' in (a ≤ a') ∧ (a' ≤\000C b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
BY
{ Assert ⌜(P a') ∧ (Q b') ∧ (a' ≤ b')⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. a : ℝ
13. b : ℝ
14. a3 : P a
15. a5 : Q b
16. a6 : a ≤ b
17. a' : ℝ
18. b' : ℝ
19. P a'
20. Q b'
21. a ≤ a'
22. a' ≤ b'
23. b' ≤ b
24. (b' - a') ≤ ((b - a) * c)
⊢ (P a') ∧ (Q b') ∧ (a' ≤ b')

2
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((P a') ∧ (Q b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. a : ℝ
13. b : ℝ
14. a3 : P a
15. a5 : Q b
16. a6 : a ≤ b
17. a' : ℝ
18. b' : ℝ
19. P a'
20. Q b'
21. a ≤ a'
22. a' ≤ b'
23. b' ≤ b
24. (b' - a') ≤ ((b - a) * c)
25. (P a') ∧ (Q b') ∧ (a' ≤ b')
⊢ ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((P a) ∧ (Q b) ∧ (a ≤ b)). let a,b,p = <a, b, a3, a5, a6> in let a',b',p' = abp' in (a ≤ a') ∧ (a' ≤\000C b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [P]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [Q]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  P  a0
6.  Q  b0
7.  a0  \mleq{}  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
            (((P  a)  \mwedge{}  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                      ((P  a')  \mwedge{}  (Q  b')  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)))))
12.  a  :  \mBbbR{}
13.  b  :  \mBbbR{}
14.  a3  :  P  a
15.  a5  :  Q  b
16.  a6  :  a  \mleq{}  b
17.  a'  :  \mBbbR{}
18.  b'  :  \mBbbR{}
19.  P  a'
20.  Q  b'
21.  a  \mleq{}  a'
22.  a'  \mleq{}  b'
23.  b'  \mleq{}  b
24.  (b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)
\mvdash{}  \mexists{}abp':a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((P  a)  \mwedge{}  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b))
      let  a,b,p  =  <a,  b,  a3,  a5,  a6>  in 
      let  a',b',p'  =  abp'  in 
      (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(P  a')  \mwedge{}  (Q  b')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index