---

Step * 1 2 2 of Lemma converges-implies-bounded


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))})
4. N : ℤ
5. [%2] : 0 < N
6. bounded-sequence(n.x[n + (N - 1)]) ⇒ bounded-sequence(n.x[n])
7. ∃b:ℝ. ∀n:ℕ. (|x[n + N]| ≤ b)
⊢ ∃b:ℝ. ∀n:ℕ. (|x[n + (N - 1)]| ≤ b)
BY
{ (ExRepD THEN InstConcl [⌜rmax(b;|x[N - 1]|)⌝]⋅ THEN Auto') }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))})
4. N : ℤ
5. 0 < N
6. bounded-sequence(n.x[n + (N - 1)]) ⇒ bounded-sequence(n.x[n])
7. b : ℝ
8. ∀n:ℕ. (|x[n + N]| ≤ b)
9. n : ℕ
⊢ |x[n + (N - 1)]| ≤ rmax(b;|x[N - 1]|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
4.  N  :  \mBbbZ{}
5.  [\%2]  :  0  <  N
6.  bounded-sequence(n.x[n  +  (N  -  1)])  {}\mRightarrow{}  bounded-sequence(n.x[n])
7.  \mexists{}b:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[n  +  N]|  \mleq{}  b)
\mvdash{}  \mexists{}b:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[n  +  (N  -  1)]|  \mleq{}  b)


By

---

Latex:
(ExRepD  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}rmax(b;|x[N  -  1]|)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto')

---

Home Index