---

Step * 1 2 of Lemma decimal-digits_wf


1. d : ℕ+
2. x : ℝ
3. N : ℕ+
4. 10^d = N ∈ ℕ+
5. N = (2 * (N ÷ 2)) ∈ ℤ
⊢ eval N2 = N ÷ 2 in
  eval D = x N2 in
  eval R = D rem N in
  eval Q = D ÷ N in
    <Q, R> ∈ {p:ℤ × ℤ| let n,m = p in |x - r(n) + (r(m)/r(N))| ≤ (r(2)/r(N))} 
BY
{ ((DupHyp (-1) THEN MoveToConcl (-1))
   THEN (InstLemma `rational-approx-property` [⌜x⌝;⌜N ÷ 2⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Unfold `rational-approx` (-1)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN ((GenConcl ⌜(N ÷ 2) = N2 ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto) THENA Auto)⋅
   THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)
   THEN ((GenConcl ⌜(x N2) = D ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto) THENA Auto)⋅
   THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)) }

1
1. d : ℕ+
2. x : ℝ
3. N : ℕ+
4. 10^d = N ∈ ℕ+
5. N = (2 * (N ÷ 2)) ∈ ℤ
6. N2 : ℕ+
7. (N ÷ 2) = N2 ∈ ℕ+
8. D : ℤ
9. (x N2) = D ∈ ℤ
⊢ (|x - (r(D))/2 * N2| ≤ (r1/r(N2)))
⇒ (N = (2 * N2) ∈ ℤ)
⇒ (eval R = D rem N in
    eval Q = D ÷ N in
      <Q, R> ∈ {p:ℤ × ℤ| let n,m = p in |x - r(n) + (r(m)/r(N))| ≤ (r(2)/r(N))} )

---

Latex:

---

Latex:

1.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  10\^{}d  =  N
5.  N  =  (2  *  (N  \mdiv{}  2))
\mvdash{}  eval  N2  =  N  \mdiv{}  2  in
    eval  D  =  x  N2  in
    eval  R  =  D  rem  N  in
    eval  Q  =  D  \mdiv{}  N  in
        <Q,  R>  \mmember{}  \{p:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}|  let  n,m  =  p  in  |x  -  r(n)  +  (r(m)/r(N))|  \mleq{}  (r(2)/r(N))\} 


By

---

Latex:
((DupHyp  (-1)  THEN  MoveToConcl  (-1))
  THEN  (InstLemma  `rational-approx-property`  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}N  \mdiv{}  2\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `rational-approx`  (-1)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  ((GenConcl  \mkleeneopen{}(N  \mdiv{}  2)  =  N2\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THENA  Auto)\mcdot{}
  THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto)
  THEN  ((GenConcl  \mkleeneopen{}(x  N2)  =  D\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THENA  Auto)\mcdot{}
  THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto))

---

Home Index