---

Step * 1 2 1 of Lemma decimal-digits_wf


1. d : ℕ+
2. x : ℝ
3. N : ℕ+
4. 10^d = N ∈ ℕ+
5. N = (2 * (N ÷ 2)) ∈ ℤ
6. N2 : ℕ+
7. (N ÷ 2) = N2 ∈ ℕ+
8. D : ℤ
9. (x N2) = D ∈ ℤ
⊢ (|x - (r(D))/2 * N2| ≤ (r1/r(N2)))
⇒ (N = (2 * N2) ∈ ℤ)
⇒ (eval R = D rem N in
    eval Q = D ÷ N in
      <Q, R> ∈ {p:ℤ × ℤ| let n,m = p in |x - r(n) + (r(m)/r(N))| ≤ (r(2)/r(N))} )
BY
{ ((InstLemma `div_rem_sum` [⌜D⌝;⌜N⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (((GenConcl ⌜(D rem N) = R ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto) THENA Auto)⋅
         THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)
         THEN ((GenConcl ⌜(D ÷ N) = Q ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto) THENA Auto)⋅
         THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)
         THEN Auto)⋅)⋅ }

1
1. d : ℕ+
2. x : ℝ
3. N : ℕ+
4. 10^d = N ∈ ℕ+
5. N = (2 * (N ÷ 2)) ∈ ℤ
6. N2 : ℕ+
7. (N ÷ 2) = N2 ∈ ℕ+
8. D : ℤ
9. (x N2) = D ∈ ℤ
10. R : ℤ
11. (D rem N) = R ∈ ℤ
12. Q : ℤ
13. (D ÷ N) = Q ∈ ℤ
14. D = ((Q * N) + R) ∈ ℤ
15. |x - (r(D))/2 * N2| ≤ (r1/r(N2))
16. N = (2 * N2) ∈ ℤ
⊢ <Q, R> ∈ {p:ℤ × ℤ| let n,m = p in |x - r(n) + (r(m)/r(N))| ≤ (r(2)/r(N))} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  10\^{}d  =  N
5.  N  =  (2  *  (N  \mdiv{}  2))
6.  N2  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  (N  \mdiv{}  2)  =  N2
8.  D  :  \mBbbZ{}
9.  (x  N2)  =  D
\mvdash{}  (|x  -  (r(D))/2  *  N2|  \mleq{}  (r1/r(N2)))
{}\mRightarrow{}  (N  =  (2  *  N2))
{}\mRightarrow{}  (eval  R  =  D  rem  N  in
        eval  Q  =  D  \mdiv{}  N  in
            <Q,  R>  \mmember{}  \{p:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}|  let  n,m  =  p  in  |x  -  r(n)  +  (r(m)/r(N))|  \mleq{}  (r(2)/r(N))\}  )


By

---

Latex:
((InstLemma  `div\_rem\_sum`  [\mkleeneopen{}D\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}N\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (((GenConcl  \mkleeneopen{}(D  rem  N)  =  R\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THENA  Auto)\mcdot{}
              THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto)
              THEN  ((GenConcl  \mkleeneopen{}(D  \mdiv{}  N)  =  Q\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THENA  Auto)\mcdot{}
              THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto)
              THEN  Auto)\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index