---

Step * 2 1 1 1 1 1 of Lemma dense-in-reals-iff


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  ∃y:ℝ. ((X y) ∧ (|x - y| < (r1/r(n))))
3. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
4. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
5. a < b
6. (|ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)) ∧ (|ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < ((r1/r(2)) * |b - a|)
9. y : ℝ
10. X y
11. ((y - (r1/r(k))) < ravg(a;b)) ∧ (ravg(a;b) < (y + (r1/r(k))))
⊢ ((a < y) ∧ (y < b)) ∧ (X y)
BY
{ (InstLemma `ravg-between` [⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THEN Auto) }

1
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  ∃y:ℝ. ((X y) ∧ (|x - y| < (r1/r(n))))
3. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
4. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
5. a < b
6. |ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)
7. |ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|)
8. k : ℕ+
9. (r1/r(k)) < ((r1/r(2)) * |b - a|)
10. y : ℝ
11. X y
12. (y - (r1/r(k))) < ravg(a;b)
13. ravg(a;b) < (y + (r1/r(k)))
14. a < ravg(a;b)
15. ravg(a;b) < b
⊢ a < y

2
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  ∃y:ℝ. ((X y) ∧ (|x - y| < (r1/r(n))))
3. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
4. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
5. a < b
6. |ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)
7. |ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|)
8. k : ℕ+
9. (r1/r(k)) < ((r1/r(2)) * |b - a|)
10. y : ℝ
11. X y
12. (y - (r1/r(k))) < ravg(a;b)
13. ravg(a;b) < (y + (r1/r(k)))
14. a < ravg(a;b)
15. ravg(a;b) < b
16. a < y
⊢ y < b

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    \mexists{}y:\mBbbR{}.  ((X  y)  \mwedge{}  (|x  -  y|  <  (r1/r(n))))
3.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
4.  b  :  \{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
5.  a  <  b
6.  (|ravg(a;b)  -  a|  =  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|))  \mwedge{}  (|ravg(a;b)  -  b|  =  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  (r1/r(k))  <  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)
9.  y  :  \mBbbR{}
10.  X  y
11.  ((y  -  (r1/r(k)))  <  ravg(a;b))  \mwedge{}  (ravg(a;b)  <  (y  +  (r1/r(k))))
\mvdash{}  ((a  <  y)  \mwedge{}  (y  <  b))  \mwedge{}  (X  y)


By

---

Latex:
(InstLemma  `ravg-between`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index