---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma dense-in-reals-iff


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  ∃y:ℝ. ((X y) ∧ (|x - y| < (r1/r(n))))
3. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
4. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
5. a < b
6. |ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)
7. |ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|)
8. k : ℕ+
9. (r1/r(k)) < ((r1/r(2)) * |b - a|)
10. y : ℝ
11. X y
12. (y - (r1/r(k))) < ravg(a;b)
13. ravg(a;b) < (y + (r1/r(k)))
14. a < ravg(a;b)
15. ravg(a;b) < b
⊢ a < y
BY
{ (Assert (r1/r(k)) < |ravg(a;b) - a| BY
         Auto) }

1
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  ∃y:ℝ. ((X y) ∧ (|x - y| < (r1/r(n))))
3. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
4. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
5. a < b
6. |ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)
7. |ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|)
8. k : ℕ+
9. (r1/r(k)) < ((r1/r(2)) * |b - a|)
10. y : ℝ
11. X y
12. (y - (r1/r(k))) < ravg(a;b)
13. ravg(a;b) < (y + (r1/r(k)))
14. a < ravg(a;b)
15. ravg(a;b) < b
16. (r1/r(k)) < |ravg(a;b) - a|
⊢ a < y

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    \mexists{}y:\mBbbR{}.  ((X  y)  \mwedge{}  (|x  -  y|  <  (r1/r(n))))
3.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
4.  b  :  \{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
5.  a  <  b
6.  |ravg(a;b)  -  a|  =  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)
7.  |ravg(a;b)  -  b|  =  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  (r1/r(k))  <  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)
10.  y  :  \mBbbR{}
11.  X  y
12.  (y  -  (r1/r(k)))  <  ravg(a;b)
13.  ravg(a;b)  <  (y  +  (r1/r(k)))
14.  a  <  ravg(a;b)
15.  ravg(a;b)  <  b
\mvdash{}  a  <  y


By

---

Latex:
(Assert  (r1/r(k))  <  |ravg(a;b)  -  a|  BY
              Auto)

---

Home Index