---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma derivative-implies-strictly-increasing


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x < y
11. [x, y] ⊆ I 
12. k : ℕ+
13. (r1/r(k)) < f'[x]
14. d : ℝ
15. r0 < d
16. ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ y)) ⇒ (|x - z| ≤ d) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]))
17. w : ℝ
18. x < w
19. w < y
20. w < (x + d)
⊢ f[x] < f[w]
BY
{ (Assert ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ w)) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z])) BY
         (ParallelOp -5 THEN (ParallelLast THENA Auto) THEN BHyp -1 )) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x < y
11. [x, y] ⊆ I 
12. k : ℕ+
13. (r1/r(k)) < f'[x]
14. d : ℝ
15. r0 < d
16. ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ y)) ⇒ (|x - z| ≤ d) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]))
17. w : ℝ
18. x < w
19. w < y
20. w < (x + d)
21. z : ℝ
22. (x ≤ z) ∧ (z ≤ w)
23. (|x - z| ≤ d) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z])
⊢ |x - z| ≤ d

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x < y
11. [x, y] ⊆ I 
12. k : ℕ+
13. (r1/r(k)) < f'[x]
14. d : ℝ
15. r0 < d
16. ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ y)) ⇒ (|x - z| ≤ d) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]))
17. w : ℝ
18. x < w
19. w < y
20. w < (x + d)
21. ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ w)) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]))
⊢ f[x] < f[w]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (r0  <  f'[x])
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  x  <  y
11.  [x,  y]  \msubseteq{}  I 
12.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  (r1/r(k))  <  f'[x]
14.  d  :  \mBbbR{}
15.  r0  <  d
16.  \mforall{}z:\mBbbR{}.  (((x  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  y))  {}\mRightarrow{}  (|x  -  z|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  ((r1/r(2  *  k))  \mleq{}  f'[z]))
17.  w  :  \mBbbR{}
18.  x  <  w
19.  w  <  y
20.  w  <  (x  +  d)
\mvdash{}  f[x]  <  f[w]


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}z:\mBbbR{}.  (((x  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  w))  {}\mRightarrow{}  ((r1/r(2  *  k))  \mleq{}  f'[z]))  BY
              (ParallelOp  -5  THEN  (ParallelLast  THENA  Auto)  THEN  BHyp  -1  ))

---

Home Index