---

Step * 2 1 1 of Lemma derivative-rnexp-function


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I
10. x : {t:ℝ| t ∈ I} 
11. y : {t:ℝ| t ∈ I} 
12. x = y
⊢ ((r(n) * f'[x]) * f[x]^n - 1) = ((r(n) * f'[y]) * f[y]^n - 1)
BY
{ (BLemma `rmul_functionality` THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I
10. x : {t:ℝ| t ∈ I} 
11. y : {t:ℝ| t ∈ I} 
12. x = y
⊢ (r(n) * f'[x]) = (r(n) * f'[y])

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I
10. x : {t:ℝ| t ∈ I} 
11. y : {t:ℝ| t ∈ I} 
12. x = y
⊢ f[x]^n - 1 = f[y]^n - 1

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
6.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  n
9.  d(f[x]\^{}n)/dx  =  \mlambda{}x.(r(n)  *  f[x]\^{}n  -  1)  *  f'[x]  on  I
10.  x  :  \{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\} 
11.  y  :  \{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\} 
12.  x  =  y
\mvdash{}  ((r(n)  *  f'[x])  *  f[x]\^{}n  -  1)  =  ((r(n)  *  f'[y])  *  f[y]\^{}n  -  1)


By

---

Latex:
(BLemma  `rmul\_functionality`  THEN  Auto)

---

Home Index