---

Step * 2 3 2 1 1 of Lemma derivative-rnexp-function


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I
10. d(f[x] * f[x]^n)/dx = λx.(f[x] * (r(n) * f'[x]) * f[x]^n - 1) + (f[x]^n * f'[x]) on I
11. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
12. f[x]^n = (f[x]^n - 1 * f[x])
⊢ ((f[x] * (r(n) * f'[x]) * f[x]^n - 1) + ((f[x]^n - 1 * f[x]) * f'[x])) = ((r(n + 1) * f[x]^n - 1 * f[x]) * f'[x])
BY
{ GenConclTerms Auto [⌜f[x]^n - 1⌝;⌜f'[x]⌝;⌜f[x]⌝]⋅ }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I
10. d(f[x] * f[x]^n)/dx = λx.(f[x] * (r(n) * f'[x]) * f[x]^n - 1) + (f[x]^n * f'[x]) on I
11. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
12. f[x]^n = (f[x]^n - 1 * f[x])
13. v : ℝ
14. f[x]^n - 1 = v ∈ ℝ
15. v1 : ℝ
16. f'[x] = v1 ∈ ℝ
17. v2 : ℝ
18. f[x] = v2 ∈ ℝ
⊢ ((v2 * (r(n) * v1) * v) + ((v * v2) * v1)) = ((r(n + 1) * v * v2) * v1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
6.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  n
9.  d(f[x]\^{}n)/dx  =  \mlambda{}x.(r(n)  *  f[x]\^{}n  -  1)  *  f'[x]  on  I
10.  d(f[x]  *  f[x]\^{}n)/dx  =  \mlambda{}x.(f[x]  *  (r(n)  *  f'[x])  *  f[x]\^{}n  -  1)  +  (f[x]\^{}n  *  f'[x])  on  I
11.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
12.  f[x]\^{}n  =  (f[x]\^{}n  -  1  *  f[x])
\mvdash{}  ((f[x]  *  (r(n)  *  f'[x])  *  f[x]\^{}n  -  1)  +  ((f[x]\^{}n  -  1  *  f[x])  *  f'[x]))
=  ((r(n  +  1)  *  f[x]\^{}n  -  1  *  f[x])  *  f'[x])


By

---

Latex:
GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}f[x]\^{}n  -  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f'[x]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f[x]\mkleeneclose{}]\mcdot{}

---

Home Index