---

Step * 1 1 1 1 of Lemma dyadic-rationals-dense


1. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
2. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
3. a < b
4. k : ℕ+
5. (r1/r(k)) < (b - a/r(2))
6. (r1/r(2^k)) < (r1/r(k))
7. |ravg(a;b) - (ravg(a;b) within 1/2^k)| ≤ (r1/r(2^k))
⊢ (a < (ravg(a;b) within 1/2^k)) ∧ ((ravg(a;b) within 1/2^k) < b)
BY
{ ((Assert |ravg(a;b) - (ravg(a;b) within 1/2^k)| < (b - a/r(2)) BY
          Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConcl ⌜(ravg(a;b) within 1/2^k) = x ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (InstLemma `ravg-dist` [⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (InstLemma `ravg-between` [⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ((r1/r(2)) * |b - a|) = (b - a/r(2)) BY
               ((RWO  "rabs-of-nonneg" 0 THENA Auto) THEN nRMul ⌜r(2)⌝ 0⋅ THEN Auto))) }

1
1. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
2. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
3. a < b
4. k : ℕ+
5. (r1/r(k)) < (b - a/r(2))
6. (r1/r(2^k)) < (r1/r(k))
7. |ravg(a;b) - (ravg(a;b) within 1/2^k)| ≤ (r1/r(2^k))
8. x : ℝ
9. (ravg(a;b) within 1/2^k) = x ∈ ℝ
10. (|ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)) ∧ (|ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|))
11. (a < ravg(a;b)) ∧ (ravg(a;b) < b)
12. ((r1/r(2)) * |b - a|) = (b - a/r(2))
⊢ (|ravg(a;b) - x| < (b - a/r(2))) ⇒ ((a < x) ∧ (x < b))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
2.  b  :  \{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
3.  a  <  b
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k))  <  (b  -  a/r(2))
6.  (r1/r(2\^{}k))  <  (r1/r(k))
7.  |ravg(a;b)  -  (ravg(a;b)  within  1/2\^{}k)|  \mleq{}  (r1/r(2\^{}k))
\mvdash{}  (a  <  (ravg(a;b)  within  1/2\^{}k))  \mwedge{}  ((ravg(a;b)  within  1/2\^{}k)  <  b)


By

---

Latex:
((Assert  |ravg(a;b)  -  (ravg(a;b)  within  1/2\^{}k)|  <  (b  -  a/r(2))  BY
                Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(ravg(a;b)  within  1/2\^{}k)  =  x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `ravg-dist`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `ravg-between`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)  =  (b  -  a/r(2))  BY
                          ((RWO    "rabs-of-nonneg"  0  THENA  Auto)  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)))

---

Home Index