---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma dyadic-rationals-dense


1. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
2. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
3. a < b
4. k : ℕ+
5. (r1/r(k)) < (b - a/r(2))
6. (r1/r(2^k)) < (r1/r(k))
7. |ravg(a;b) - (ravg(a;b) within 1/2^k)| ≤ (r1/r(2^k))
8. x : ℝ
9. (ravg(a;b) within 1/2^k) = x ∈ ℝ
10. (|ravg(a;b) - a| = ((r1/r(2)) * |b - a|)) ∧ (|ravg(a;b) - b| = ((r1/r(2)) * |b - a|))
11. (a < ravg(a;b)) ∧ (ravg(a;b) < b)
12. ((r1/r(2)) * |b - a|) = (b - a/r(2))
⊢ (|ravg(a;b) - x| < (b - a/r(2))) ⇒ ((a < x) ∧ (x < b))
BY
{ ((RWO  "-1" (-3) THENA Auto) THEN Thin (-1)) }

1
1. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
2. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
3. a < b
4. k : ℕ+
5. (r1/r(k)) < (b - a/r(2))
6. (r1/r(2^k)) < (r1/r(k))
7. |ravg(a;b) - (ravg(a;b) within 1/2^k)| ≤ (r1/r(2^k))
8. x : ℝ
9. (ravg(a;b) within 1/2^k) = x ∈ ℝ
10. (|ravg(a;b) - a| = (b - a/r(2))) ∧ (|ravg(a;b) - b| = (b - a/r(2)))
11. (a < ravg(a;b)) ∧ (ravg(a;b) < b)
⊢ (|ravg(a;b) - x| < (b - a/r(2))) ⇒ ((a < x) ∧ (x < b))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
2.  b  :  \{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
3.  a  <  b
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k))  <  (b  -  a/r(2))
6.  (r1/r(2\^{}k))  <  (r1/r(k))
7.  |ravg(a;b)  -  (ravg(a;b)  within  1/2\^{}k)|  \mleq{}  (r1/r(2\^{}k))
8.  x  :  \mBbbR{}
9.  (ravg(a;b)  within  1/2\^{}k)  =  x
10.  (|ravg(a;b)  -  a|  =  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|))  \mwedge{}  (|ravg(a;b)  -  b|  =  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|))
11.  (a  <  ravg(a;b))  \mwedge{}  (ravg(a;b)  <  b)
12.  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)  =  (b  -  a/r(2))
\mvdash{}  (|ravg(a;b)  -  x|  <  (b  -  a/r(2)))  {}\mRightarrow{}  ((a  <  x)  \mwedge{}  (x  <  b))


By

---

Latex:
((RWO    "-1"  (-3)  THENA  Auto)  THEN  Thin  (-1))

---

Home Index