---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma dyadic-rationals-dense


1. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
2. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
3. a < b
4. k : ℕ+
5. (r1/r(k)) < (b - a/r(2))
6. (r1/r(2^k)) < (r1/r(k))
7. |ravg(a;b) - (ravg(a;b) within 1/2^k)| ≤ (r1/r(2^k))
8. x : ℝ
9. (ravg(a;b) within 1/2^k) = x ∈ ℝ
10. (|ravg(a;b) - a| = (b - a/r(2))) ∧ (|ravg(a;b) - b| = (b - a/r(2)))
11. (a < ravg(a;b)) ∧ (ravg(a;b) < b)
⊢ (|ravg(a;b) - x| < (b - a/r(2))) ⇒ ((a < x) ∧ (x < b))
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConcl ⌜ravg(a;b) = y ∈ ℝ⌝ ⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(b - a/r(2)) = d ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN All Thin) }

1
1. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
2. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
3. x : ℝ
4. y : ℝ
5. d : ℝ
⊢ ((|y - a| = d) ∧ (|y - b| = d)) ⇒ ((a < y) ∧ (y < b)) ⇒ (|y - x| < d) ⇒ ((a < x) ∧ (x < b))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
2.  b  :  \{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
3.  a  <  b
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k))  <  (b  -  a/r(2))
6.  (r1/r(2\^{}k))  <  (r1/r(k))
7.  |ravg(a;b)  -  (ravg(a;b)  within  1/2\^{}k)|  \mleq{}  (r1/r(2\^{}k))
8.  x  :  \mBbbR{}
9.  (ravg(a;b)  within  1/2\^{}k)  =  x
10.  (|ravg(a;b)  -  a|  =  (b  -  a/r(2)))  \mwedge{}  (|ravg(a;b)  -  b|  =  (b  -  a/r(2)))
11.  (a  <  ravg(a;b))  \mwedge{}  (ravg(a;b)  <  b)
\mvdash{}  (|ravg(a;b)  -  x|  <  (b  -  a/r(2)))  {}\mRightarrow{}  ((a  <  x)  \mwedge{}  (x  <  b))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}ravg(a;b)  =  y\mkleeneclose{}  \mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(b  -  a/r(2))  =  d\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  All  Thin)

---

Home Index