---

Step * 2 1 1 1 1 of Lemma fixedpoint-property-iff


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. c : mcompact(X;d)
4. ∀f:FUN(X ⟶ X). (¬(∀x:X. f x # x))
5. f : FUN(X ⟶ X)
6. ¬(∀x:X. f x # x)
7. λx.mdist(d;f x;x) ∈ FUN(X ⟶ ℝ)
8. ∀x:X. (compact-inf{i:l}(d;c;λx.mdist(d;f x;x)) ≤ mdist(d;f x;x))
9. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:X. (mdist(d;f x;x) < (compact-inf{i:l}(d;c;λx.mdist(d;f x;x)) + e))))
10. n : ℕ+
⊢ ∃x:X. (mdist(d;f x;x) ≤ (r1/r(n)))
BY
{ ((InstHyp [⌜(r1/r(2 * n))⌝] (-2)⋅ THENA Auto) THEN ParallelLast) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. c : mcompact(X;d)
4. ∀f:FUN(X ⟶ X). (¬(∀x:X. f x # x))
5. f : FUN(X ⟶ X)
6. ¬(∀x:X. f x # x)
7. λx.mdist(d;f x;x) ∈ FUN(X ⟶ ℝ)
8. ∀x:X. (compact-inf{i:l}(d;c;λx.mdist(d;f x;x)) ≤ mdist(d;f x;x))
9. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:X. (mdist(d;f x;x) < (compact-inf{i:l}(d;c;λx.mdist(d;f x;x)) + e))))
10. n : ℕ+
11. x : X
12. mdist(d;f x;x) < (compact-inf{i:l}(d;c;λx.mdist(d;f x;x)) + (r1/r(2 * n)))
⊢ mdist(d;f x;x) ≤ (r1/r(n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  c  :  mcompact(X;d)
4.  \mforall{}f:FUN(X  {}\mrightarrow{}  X).  (\mneg{}(\mforall{}x:X.  f  x  \#  x))
5.  f  :  FUN(X  {}\mrightarrow{}  X)
6.  \mneg{}(\mforall{}x:X.  f  x  \#  x)
7.  \mlambda{}x.mdist(d;f  x;x)  \mmember{}  FUN(X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{})
8.  \mforall{}x:X.  (compact-inf\{i:l\}(d;c;\mlambda{}x.mdist(d;f  x;x))  \mleq{}  mdist(d;f  x;x))
9.  \mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:X.  (mdist(d;f  x;x)  <  (compact-inf\{i:l\}(d;c;\mlambda{}x.mdist(d;f  x;x))  +  e))))
10.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  \mexists{}x:X.  (mdist(d;f  x;x)  \mleq{}  (r1/r(n)))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}(r1/r(2  *  n))\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  ParallelLast)

---

Home Index