---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma fun-converges-to-sine


1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = sine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. n : ℕ
7. m ≤ n
8. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
9. r0 < r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
10. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
11. |r(((2 * n) + 1)!)| = r(((2 * n) + 1)!)
12. v : ℝ
13. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = v ∈ ℝ
14. v1 : ℝ
15. |r(((2 * n) + 1)!)| = v1 ∈ ℝ
16. v = (r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2)) * v1)
17. r0 < v
18. r0 < v1
19. |x| ≤ r(n)
20. |x|^2 ≤ r(n)^2
⊢ (r(4) * |x^(2 * (n + 1)) + 1| * v1) ≤ (|x^(2 * n) + 1| * v)
BY
{ Assert ⌜(r(4) * r(n)^2) < r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = sine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. n : ℕ
7. m ≤ n
8. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
9. r0 < r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
10. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
11. |r(((2 * n) + 1)!)| = r(((2 * n) + 1)!)
12. v : ℝ
13. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = v ∈ ℝ
14. v1 : ℝ
15. |r(((2 * n) + 1)!)| = v1 ∈ ℝ
16. v = (r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2)) * v1)
17. r0 < v
18. r0 < v1
19. |x| ≤ r(n)
20. |x|^2 ≤ r(n)^2
⊢ (r(4) * r(n)^2) < r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2))

2
1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = sine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. n : ℕ
7. m ≤ n
8. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
9. r0 < r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
10. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
11. |r(((2 * n) + 1)!)| = r(((2 * n) + 1)!)
12. v : ℝ
13. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = v ∈ ℝ
14. v1 : ℝ
15. |r(((2 * n) + 1)!)| = v1 ∈ ℝ
16. v = (r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2)) * v1)
17. r0 < v
18. r0 < v1
19. |x| ≤ r(n)
20. |x|^2 ≤ r(n)^2
21. (r(4) * r(n)^2) < r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2))
⊢ (r(4) * |x^(2 * (n + 1)) + 1| * v1) ≤ (|x^(2 * n) + 1| * v)

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mSigma{}i.-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  =  sine(x)
2.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  r0  \mleq{}  (r1/r(4))
4.  (r1/r(4))  <  r1
5.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\} 
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  m  \mleq{}  n
8.  r0  <  r(((2  *  n)  +  1)!)
9.  r0  <  r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)
10.  |r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|  =  r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)
11.  |r(((2  *  n)  +  1)!)|  =  r(((2  *  n)  +  1)!)
12.  v  :  \mBbbR{}
13.  |r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|  =  v
14.  v1  :  \mBbbR{}
15.  |r(((2  *  n)  +  1)!)|  =  v1
16.  v  =  (r(((2  *  n)  +  3)  *  ((2  *  n)  +  2))  *  v1)
17.  r0  <  v
18.  r0  <  v1
19.  |x|  \mleq{}  r(n)
20.  |x|\^{}2  \mleq{}  r(n)\^{}2
\mvdash{}  (r(4)  *  |x\^{}(2  *  (n  +  1))  +  1|  *  v1)  \mleq{}  (|x\^{}(2  *  n)  +  1|  *  v)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(r(4)  *  r(n)\^{}2)  <  r(((2  *  n)  +  3)  *  ((2  *  n)  +  2))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index