---

Step * 2 2 1 1 1 2 of Lemma infn-property


1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < n
4. ∀f:{f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} . ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
     ∃x:I^n - 1. ((f x) ≤ ((infn(n - 1;I) f) + e))
5. f : {f:I^n ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} 
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )
8. ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))
9. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))) = (infn(n - 1;I) (λa.(f a++y)))))
10. lower-bound(infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))(x∈I);inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++x)) | x ∈ I})
11. ∀e:ℝ
      ((r0 < e)
      ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))(x∈I)) ∧ (x < (inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++x)) | x ∈ I} + e)))))
12. x : ℝ
13. z : ℝ
14. z ∈ I
15. (infn(n - 1;I) (λa.(f a++z))) = x
16. λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} 
17. x1 : I^n - 1
18. v : ℝ
19. inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} = v ∈ ℝ
⊢ (x < (v + (e/r(2)))) ⇒ ((f x1++z) ≤ ((infn(n - 1;I) (λa.(f a++z))) + (e/r(2)))) ⇒ (∃x:I^n. ((f x) ≤ (v + e)))
BY
{ ((RWO "-5" 0 THENA Auto)
   THEN (Intros THEN (D 0 With ⌜x1++z⌝  THENA Auto))
   THEN (RWO  "-1" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO  "-2" 0 THENA Auto)) }

1
1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀f:{f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} . ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
     ∃x:I^n - 1. ((f x) ≤ ((infn(n - 1;I) f) + e))
5. f : {f:I^n ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} 
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )
8. ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))
9. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))) = (infn(n - 1;I) (λa.(f a++y)))))
10. lower-bound(infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))(x∈I);inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++x)) | x ∈ I})
11. ∀e:ℝ
      ((r0 < e)
      ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))(x∈I)) ∧ (x < (inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++x)) | x ∈ I} + e)))))
12. x : ℝ
13. z : ℝ
14. z ∈ I
15. (infn(n - 1;I) (λa.(f a++z))) = x
16. λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} 
17. x1 : I^n - 1
18. v : ℝ
19. inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} = v ∈ ℝ
20. x < (v + (e/r(2)))
21. (f x1++z) ≤ (x + (e/r(2)))
⊢ ((v + (e/r(2))) + (e/r(2))) ≤ (v + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  \{I:Interval|  icompact(I)\} 
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  [\%1]  :  0  <  n
4.  \mforall{}f:\{f:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}|  \mforall{}a,b:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\}  .  \mforall{}e:\{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  .
          \mexists{}x:I\^{}n  -  1.  ((f  x)  \mleq{}  ((infn(n  -  1;I)  f)  +  e))
5.  f  :  \{f:I\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}|  \mforall{}a,b:I\^{}n.    (req-vec(n;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\} 
6.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
7.  \mforall{}z:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
          (\mlambda{}a.(f  a++z)  \mmember{}  \{f:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}|  \mforall{}a,b:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\}  )
8.  \mforall{}a,b:I\^{}n.    (req-vec(n;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))
9.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x)))  =  (infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++y)))))
10.  lower-bound(infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x))(x\mmember{}I);inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x))  |  x  \mmember{}  I\})
11.  \mforall{}e:\mBbbR{}
            ((r0  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}
                      ((x  \mmember{}  infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x))(x\mmember{}I))
                      \mwedge{}  (x  <  (inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x))  |  x  \mmember{}  I\}  +  e)))))
12.  x  :  \mBbbR{}
13.  z  :  \mBbbR{}
14.  z  \mmember{}  I
15.  (infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z)))  =  x
16.  \mlambda{}a.(f  a++z)  \mmember{}  \{f:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}|  \mforall{}a,b:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\} 
17.  x1  :  I\^{}n  -  1
18.  v  :  \mBbbR{}
19.  inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z))  |  z  \mmember{}  I\}  =  v
\mvdash{}  (x  <  (v  +  (e/r(2))))
{}\mRightarrow{}  ((f  x1++z)  \mleq{}  ((infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z)))  +  (e/r(2))))
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:I\^{}n.  ((f  x)  \mleq{}  (v  +  e)))


By

---

Latex:
((RWO  "-5"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Intros  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}x1++z\mkleeneclose{}    THENA  Auto))
  THEN  (RWO    "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO    "-2"  0  THENA  Auto))

---

Home Index